Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.5 Определите, для какой из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания, если на рисунках 54—56 изображены графики производных этих функций.

$y = f'(x)$

Рис. 54

$y = g'(x)$

Рис. 55

$y = h'(x)$

Рис. 56

Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна ($f'(x) \geq 0$) и обращается в ноль лишь в отдельных точках. Проанализируем знак производной для каждой функции на заданном отрезке $[-1; 1]$, используя представленные графики.

Для функции $y = f(x)$ (Рис. 54)

Рассмотрим график производной $y = f'(x)$. На всем отрезке $[-1; 1]$ график производной находится на оси абсцисс или ниже нее. Это означает, что для любого $x$ из этого отрезка выполняется условие $f'(x) \leq 0$. Поскольку производная на данном отрезке неположительна, функция $y=f(x)$ является убывающей (не возрастающей) на отрезке $[-1; 1]$.

Ответ: для функции $y=f(x)$ отрезок $[-1; 1]$ не является промежутком возрастания.

Для функции $y = g(x)$ (Рис. 55)

Рассмотрим график производной $y = g'(x)$. На всем отрезке $[-1; 1]$ график производной находится на оси абсцисс или выше нее. Это означает, что для любого $x$ из этого отрезка выполняется условие $g'(x) \geq 0$. Поскольку производная на данном отрезке неотрицательна, функция $y=g(x)$ является возрастающей на отрезке $[-1; 1]$.

Ответ: для функции $y=g(x)$ отрезок $[-1; 1]$ является промежутком возрастания.

Для функции $y = h(x)$ (Рис. 56)

Рассмотрим график производной $y = h'(x)$. На отрезке $[-1; 1]$ производная меняет свой знак. На промежутке $[-1; 0)$ график находится выше оси абсцисс, что означает $h'(x) > 0$. В точке $x=0$ график пересекает ось, то есть $h'(0)=0$. На промежутке $(0; 1]$ график находится ниже оси абсцисс, что означает $h'(x) < 0$. Так как производная не сохраняет постоянный знак на всем отрезке $[-1; 1]$, функция $y=h(x)$ не является монотонно возрастающей на этом отрезке (она возрастает на $[-1; 0]$ и убывает на $[0; 1]$).

Ответ: для функции $y=h(x)$ отрезок $[-1; 1]$ не является промежутком возрастания.

30.4 На каком из указанных промежутков функция $y = f(x)$ убывает, если график её производной представлен на рисунке 53:

а) $(-2; 1)$;

б) $(-\infty; 4)$;

в) $(4; +\infty)$;

г) $(-\infty; -2)$?

Рис. 53

Функция $y = f(x)$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ отрицательна. На графике производной это соответствует интервалам, где линия графика $y = f'(x)$ расположена ниже оси абсцисс (оси Ox). Проанализируем каждый из предложенных промежутков, глядя на представленный график производной.

а) $(-2; 1)$
На интервале $(-2; 1)$ график производной $f'(x)$ целиком находится выше оси Ox. Это означает, что для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Следовательно, на промежутке $(-2; 1)$ функция $f(x)$ возрастает.
Ответ: на промежутке $(-2; 1)$ функция возрастает.

б) $(-\infty; 4)$
На интервале $(-\infty; 4)$ график производной $f'(x)$ также находится выше оси Ox (в точке $x=4$ производная равна нулю, но эта точка не входит в интервал). Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; 4)$, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
Ответ: на промежутке $(-\infty; 4)$ функция возрастает.

в) $(4; +\infty)$
На интервале $(4; +\infty)$ график производной $f'(x)$ целиком находится ниже оси Ox. Это означает, что для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Следовательно, на промежутке $(4; +\infty)$ функция $f(x)$ убывает.
Ответ: на промежутке $(4; +\infty)$ функция убывает.

г) $(-\infty; -2)$
На интервале $(-\infty; -2)$ график производной $f'(x)$ находится выше оси Ox, то есть $f'(x) > 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; -2)$ функция $f(x)$ возрастает.
Ответ: на промежутке $(-\infty; -2)$ функция возрастает.

Из всех рассмотренных вариантов только на промежутке $(4; +\infty)$ функция $y=f(x)$ убывает.

Ответ: в) $(4; +\infty)$