Страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.3 Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси $x$ касательная к графику функции $y = f(x)$, проведённая в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$;

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$, $a = 3$;

в) $f(x) = (1 - x)^3$, $a = -3$;

г) $f(x) = 2x - x^3$, $a = 1?`

Чтобы определить, какой угол (острый или тупой) образует касательная к графику функции с положительным направлением оси $x$, необходимо найти знак производной этой функции в точке касания. Угловой коэффициент касательной $k$ в точке с абсциссой $x = a$ равен значению производной $f'(a)$.
- Если $f'(a) > 0$, то касательная образует острый угол.
- Если $f'(a) < 0$, то касательная образует тупой угол.

а) $f(x) = 4 + x^2, a = 2;$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (4 + x^2)' = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 2$: $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
3. Так как $f'(2) = 4 > 0$, угол, образуемый касательной, является острым.
Ответ: острый угол.

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}, a = 3;$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 3$: $f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
3. Так как $f'(3) = \frac{1}{9} > 0$, угол является острым.
Ответ: острый угол.

в) $f(x) = (1 - x)^3, a = -3;$
1. Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $f'(x) = ((1 - x)^3)' = 3(1 - x)^2 \cdot (1 - x)' = 3(1 - x)^2 \cdot (-1) = -3(1 - x)^2$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -3$: $f'(-3) = -3(1 - (-3))^2 = -3(1 + 3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48$.
3. Так как $f'(-3) = -48 < 0$, угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

г) $f(x) = 2x - x^3, a = 1?$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (2x - x^3)' = 2 - 3x^2$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 1$: $f'(1) = 2 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.
3. Так как $f'(1) = -1 < 0$, угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

29.4 Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе $y = 1 - x^2$ в точке:

а) A(0; 1);

б) B(2; -3);

в) $B\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$;

г) D(-1; 0)?

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид: $k = f'(x_0)$.

Дана функция, описывающая параболу: $y = 1 - x^2$.

Для начала найдем ее производную:

$y' = (1 - x^2)' = (1)' - (x^2)' = 0 - 2x = -2x$.

Теперь мы можем найти угловой коэффициент касательной в каждой из указанных точек, подставляя абсциссу (координату $x$) соответствующей точки в выражение для производной.

а) A(0; 1)

Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен:

$k = y'(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) B(2; -3)

Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен:

$k = y'(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: -4

в) B($\frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$)

Абсцисса точки касания $x_0 = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен:

$k = y'\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

Ответ: -1

г) D(-1; 0)

Абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен:

$k = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

Ответ: 2

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.5 а) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$, $a = -1$;

б) $f(x) = \sqrt{4 - 5x}$, $a = 0$;

в) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$, $a = 0$;

г) $f(x) = \sqrt{10 + x}$, $a = -5$.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид: $k = f'(a)$.

Для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ в точке $a = -1$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3)' = 3x^2 - 4x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -1$:
$k = f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3 \cdot 1 + 4 = 7$.
Ответ: 7.

Для функции $f(x) = \sqrt{4 - 5x}$ в точке $a = 0$.
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{4 - 5x})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 5x}} \cdot (4 - 5x)' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{4 - 5x}}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{4 - 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

Для функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в точке $a = 0$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 7x^3 + 12x - 45)' = 4x^3 - 21x^2 + 12$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = 4 \cdot 0^3 - 21 \cdot 0^2 + 12 = 0 - 0 + 12 = 12$.
Ответ: 12.

Для функции $f(x) = \sqrt{10 + x}$ в точке $a = -5$.
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{10 + x})' = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot (10 + x)' = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -5$:
$k = f'(-5) = \frac{1}{2\sqrt{10 + (-5)}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$.