Номер 4, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §20. ч. 1 - номер 4, страница 136.
№4 (с. 136)
Условие. №4 (с. 136)
скриншот условия

4. Верна ли формула $\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\operatorname{tg} x+1}{1-\operatorname{tg} x}$? Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?
Решение 6. №4 (с. 136)
Верна ли формула $\text{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + 1}{1-\text{tg}x}$?
Для проверки данной формулы необходимо воспользоваться тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:
$$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} $$
Применим эту формулу к левой части исходного равенства, положив $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно единице, то есть $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Подставим эти значения в формулу тангенса суммы:
$$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x \cdot 1} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x} $$
Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходной формулы. Следовательно, формула является верной.
Ответ: Да, формула верна.
Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?
Формула справедлива (или является тождеством) только для тех значений переменной $x$, для которых обе ее части имеют смысл, то есть определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данной формулы.
1. Левая часть $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ определена, если ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.$$ x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Выразим $x$:$$ x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $$$$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$
2. Правая часть $\frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x}$ определена, если выполняются два условия:
а) Выражение $\text{tg}x$ должно быть определено. Это так, если $x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$
б) Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 1 - \text{tg}x \neq 0 $$ $$ \text{tg}x \neq 1 $$ Тангенс равен единице при $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m$ – любое целое число. Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить. $$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$
Объединяя все полученные ограничения, видим, что условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ возникает при анализе обеих частей формулы. Дополнительно, для определения правой части требуется, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Таким образом, формула справедлива для всех значений $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любых целых $k$ и $n$.
Ответ: Формула справедлива при всех значениях $x$, для которых $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 136 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 136), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.