Номер 4, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §20 - номер 4, страница 136.

Условие.

4. Верна ли формула $\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\operatorname{tg} x+1}{1-\operatorname{tg} x}$? Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Решение 6.

Верна ли формула $\text{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + 1}{1-\text{tg}x}$?

Для проверки данной формулы необходимо воспользоваться тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} $$

Применим эту формулу к левой части исходного равенства, положив $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно единице, то есть $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим эти значения в формулу тангенса суммы:

$$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x \cdot 1} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x} $$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходной формулы. Следовательно, формула является верной.

Ответ: Да, формула верна.

Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Формула справедлива (или является тождеством) только для тех значений переменной $x$, для которых обе ее части имеют смысл, то есть определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данной формулы.

1. Левая часть $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ определена, если ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.$$ x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Выразим $x$:$$ x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $$$$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2. Правая часть $\frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x}$ определена, если выполняются два условия:

а) Выражение $\text{tg}x$ должно быть определено. Это так, если $x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

б) Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 1 - \text{tg}x \neq 0 $$ $$ \text{tg}x \neq 1 $$ Тангенс равен единице при $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m$ – любое целое число. Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить. $$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$

Объединяя все полученные ограничения, видим, что условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ возникает при анализе обеих частей формулы. Дополнительно, для определения правой части требуется, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, формула справедлива для всех значений $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любых целых $k$ и $n$.

Ответ: Формула справедлива при всех значениях $x$, для которых $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.