Номер 3, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §20. ч. 1 - номер 3, страница 136.
№3 (с. 136)
Условие. №3 (с. 136)
скриншот условия

3. Укажите область допустимых значений переменных в формуле $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}$.
Решение 6. №3 (с. 136)
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных в формуле определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. Рассмотрим данную формулу:
$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$
Для нахождения ОДЗ необходимо, чтобы были определены все тригонометрические функции и чтобы знаменатель дроби в правой части не был равен нулю.
1. Условие для левой части формулы.
Функция тангенса $\tg(a)$ определена, если ее аргумент $a$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$).
Следовательно, для $\tg(x + y)$ должно выполняться условие:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$.
2. Условия для правой части формулы.
Правая часть представляет собой дробь $\frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$. Для ее существования должны выполняться три условия:
а) Должен существовать $\tg x$. Это выполняется, когда:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.
б) Должен существовать $\tg y$. Это выполняется, когда:
$y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$.
в) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$1 - \tg x \tg y \neq 0$
$\tg x \tg y \neq 1$
Это условие можно преобразовать. Если $\tg y \neq 0$, то $\tg x \neq \frac{1}{\tg y}$, что эквивалентно $\tg x \neq \ctg y$.
Используя формулу приведения $\ctg y = \tg(\frac{\pi}{2} - y)$, получаем:
$\tg x \neq \tg(\frac{\pi}{2} - y)$
Так как период тангенса равен $\pi$, это неравенство означает, что:
$x \neq \frac{\pi}{2} - y + \pi j$, где $j \in Z$.
Перенеся $y$ в левую часть, получим:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi j$, $j \in Z$.
Заметим, что условие на знаменатель (2в) совпадает с условием для левой части (1). Таким образом, для нахождения области допустимых значений переменных $x$ и $y$ достаточно объединить все уникальные условия.
Итоговые условия для ОДЗ:
- $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$
- $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$
- $x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$
Ответ: Область допустимых значений переменных $x$ и $y$ определяется системой условий: $ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, & n \in Z \\ y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, & m \in Z \\ x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, & k \in Z \end{cases} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 136 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 136), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.