Номер 3, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §20 - номер 3, страница 136.

Условие.

3. Укажите область допустимых значений переменных в формуле $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}$.

Решение 6.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных в формуле определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. Рассмотрим данную формулу:

$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$

Для нахождения ОДЗ необходимо, чтобы были определены все тригонометрические функции и чтобы знаменатель дроби в правой части не был равен нулю.

1. Условие для левой части формулы.
Функция тангенса $\tg(a)$ определена, если ее аргумент $a$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$).
Следовательно, для $\tg(x + y)$ должно выполняться условие:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$.

2. Условия для правой части формулы.
Правая часть представляет собой дробь $\frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$. Для ее существования должны выполняться три условия:
а) Должен существовать $\tg x$. Это выполняется, когда:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.
б) Должен существовать $\tg y$. Это выполняется, когда:
$y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$.
в) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$1 - \tg x \tg y \neq 0$
$\tg x \tg y \neq 1$
Это условие можно преобразовать. Если $\tg y \neq 0$, то $\tg x \neq \frac{1}{\tg y}$, что эквивалентно $\tg x \neq \ctg y$.
Используя формулу приведения $\ctg y = \tg(\frac{\pi}{2} - y)$, получаем:
$\tg x \neq \tg(\frac{\pi}{2} - y)$
Так как период тангенса равен $\pi$, это неравенство означает, что:
$x \neq \frac{\pi}{2} - y + \pi j$, где $j \in Z$.
Перенеся $y$ в левую часть, получим:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi j$, $j \in Z$.

Заметим, что условие на знаменатель (2в) совпадает с условием для левой части (1). Таким образом, для нахождения области допустимых значений переменных $x$ и $y$ достаточно объединить все уникальные условия.

Итоговые условия для ОДЗ:

• $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$
• $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$
• $x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$

Ответ: Область допустимых значений переменных $x$ и $y$ определяется системой условий: $ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, & n \in Z \\ y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, & m \in Z \\ x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, & k \in Z \end{cases} $