Номер 2, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §19 - номер 2, страница 133.

Условие.

2. Выразите через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ выражение $\cos (u + v)$.

Решение 6.

Чтобы выразить $\cos(u+v)$ через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$, необходимо применить формулу косинуса суммы. Это одна из фундаментальных формул сложения в тригонометрии.

Формула гласит, что косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

$\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$

Геометрическое доказательство формулы:

Доказательство можно провести, используя единичную окружность и свойство равенства хорд, стягивающих равные дуги.

Возьмем на единичной окружности четыре точки, соответствующие углам, отложенным от положительного направления оси абсцисс:

• Точка $P_0$ с углом $0$. Ее координаты $(1, 0)$.
• Точка $P_u$ с углом $u$. Ее координаты $(\cos u, \sin u)$.
• Точка $P_{u+v}$ с углом $u+v$. Ее координаты $(\cos(u+v), \sin(u+v))$.
• Точка $P_{-v}$ с углом $-v$. Ее координаты $(\cos(-v), \sin(-v)) = (\cos v, -\sin v)$.

Рассмотрим две дуги на этой окружности. Дуга $\cup P_{-v}P_u$ имеет угловую меру, равную $u - (-v) = u+v$. Дуга $\cup P_0P_{u+v}$ имеет угловую меру $(u+v) - 0 = u+v$.

Так как угловые меры дуг равны, то и длины стягивающих их хорд также равны: $|P_{-v}P_u| = |P_0P_{u+v}|$. Следовательно, равны и квадраты их длин: $|P_{-v}P_u|^2 = |P_0P_{u+v}|^2$.

Вычислим квадрат длины каждой хорды, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

1. Для хорды $P_0P_{u+v}$:
$|P_0P_{u+v}|^2 = (\cos(u+v) - 1)^2 + (\sin(u+v) - 0)^2$
$= \cos^2(u+v) - 2\cos(u+v) + 1 + \sin^2(u+v)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$= (\cos^2(u+v) + \sin^2(u+v)) + 1 - 2\cos(u+v) = 1 + 1 - 2\cos(u+v) = 2 - 2\cos(u+v)$.

2. Для хорды $P_{-v}P_u$:
$|P_{-v}P_u|^2 = (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u - (-\sin v))^2$
$= (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u + \sin v)^2$
$= (\cos^2 u - 2\cos u \cos v + \cos^2 v) + (\sin^2 u + 2\sin u \sin v + \sin^2 v)$
Сгруппируем слагаемые:
$= (\cos^2 u + \sin^2 u) + (\cos^2 v + \sin^2 v) - 2\cos u \cos v + 2\sin u \sin v$
$= 1 + 1 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v) = 2 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$.

Теперь приравняем полученные выражения для квадратов длин хорд:
$2 - 2\cos(u+v) = 2 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$
Вычтем $2$ из обеих частей уравнения:
$-2\cos(u+v) = -2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$
Разделим обе части на $-2$:
$\cos(u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$.

Таким образом, искомое выражение $\cos(u+v)$ выражается через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ с помощью доказанной формулы.

Ответ: $\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$.