Номер 5, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §18. ч. 1 - номер 5, страница 125.

5. Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени? Опишите алгоритм его решения.

Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени?

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$, где $a, b, c$ – это некоторые действительные коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю.

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что сумма степеней тригонометрических функций ($\sin(x)$ и $\cos(x)$) в каждом слагаемом одинакова и равна 2. Например, в слагаемом $a\sin^2(x)$ степень равна 2. В слагаемом $b\sin(x)\cos(x)$ степени $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равны 1, а их сумма также равна $1+1=2$. В слагаемом $c\cos^2(x)$ степень равна 2.

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$, в котором все слагаемые имеют одинаковую степень, равную двум.

Опишите алгоритм его решения.

Стандартный метод решения такого уравнения заключается в сведении его к квадратному уравнению относительно тангенса. Алгоритм состоит из следующих шагов (рассматривается основной случай, когда коэффициент $a \neq 0$):

1. Проверка возможности деления на $\cos^2(x)$.

   Чтобы разделить уравнение на $\cos^2(x)$, нужно убедиться, что $\cos(x) \neq 0$ не приводит к потере корней. Предположим, что $\cos(x) = 0$ является решением. Тогда из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin^2(x) = 1$. Подставив $\cos(x) = 0$ и $\sin^2(x) = 1$ в исходное уравнение, получим: $a \cdot 1 + b \cdot \sin(x) \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что равносильно $a = 0$.

   Таким образом, если коэффициент $a \neq 0$, то $\cos(x)$ не может быть равен нулю, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos^2(x)$.

   Примечание: Если $a = 0$, уравнение принимает вид $b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b\sin(x) + c\cos(x)) = 0$. Решение распадается на два уравнения: $\cos(x) = 0$ и $b\sin(x) + c\cos(x) = 0$ (однородное уравнение первой степени).

2. Деление на $\cos^2(x)$.

   Разделим каждый член уравнения $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$ на $\cos^2(x)$: $a\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$

3. Сведение к уравнению относительно $\tan(x)$.

   Используя тождество $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$, получаем уравнение: $a\tan^2(x) + b\tan(x) + c = 0$

4. Введение новой переменной.

   Сделаем замену $t = \tan(x)$. Уравнение превращается в стандартное квадратное уравнение относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$

5. Решение квадратного уравнения.

   Находим корни $t_1$ и $t_2$ этого уравнения (например, через дискриминант $D = b^2-4ac$), если они существуют в множестве действительных чисел.

6. Обратная замена и нахождение $x$.

   Возвращаемся к исходной переменной. Решаем одно или два простейших тригонометрических уравнения: $\tan(x) = t_1$ и (если есть второй корень) $\tan(x) = t_2$.

   Общие решения этих уравнений записываются в виде $x = \arctan(t_1) + \pi n$ и $x = \arctan(t_2) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Алгоритм решения (для случая $a \neq 0$): 1. Убедиться, что $\cos(x) \neq 0$, и разделить уравнение на $\cos^2(x)$. 2. Получить квадратное уравнение относительно $\tan(x)$: $a\tan^2(x) + b\tan(x) + c = 0$. 3. Сделать замену $t = \tan(x)$ и решить квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$. 4. Выполнить обратную замену и найти $x$ из простейших тригонометрических уравнений вида $\tan(x)=t$.