Номер 1, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §18 - номер 1, страница 125.

Условие.

1. Назовите два основных метода решения тригонометрических уравнений.

Решение 6.

Двумя основными и наиболее универсальными методами решения тригонометрических уравнений являются метод введения новой переменной и метод разложения на множители.

1. Метод введения новой переменной (метод замены)
Этот метод применяется, когда уравнение можно привести к алгебраическому виду (например, квадратному, кубическому) относительно одной тригонометрической функции ($\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$ и т.д.). Суть метода заключается в замене этой функции на новую переменную (например, $t$), решении полученного алгебраического уравнения относительно $t$ и последующем выполнении обратной замены для нахождения $x$.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0$.
Шаг 1. Введем замену. Пусть $t = \cos(x)$. Поскольку значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1, на новую переменную накладывается ограничение: $|t| \le 1$.
Шаг 2. Запишем уравнение с новой переменной. Оно становится квадратным: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
Шаг 3. Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни: $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$.
Шаг 4. Проверим корни на соответствие ограничению $|t| \le 1$. Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$. Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $|-2| > 1$.
Шаг 5. Выполним обратную замену для подходящего корня: $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Шаг 6. Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Решения имеют вид: $x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому путем замены тригонометрической функции на новую переменную.

2. Метод разложения на множители
Этот метод используется, когда все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Уравнение вида $F(x) \cdot G(x) = 0$ равносильно совокупности уравнений $F(x)=0$ и $G(x)=0$ (при условии, что оба выражения определены). Это позволяет разбить одно сложное уравнение на несколько более простых.

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 1. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Уравнение принимает вид: $2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 2. Вынесем общий множитель $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Перейдем к совокупности двух уравнений:
1) $\cos(x) = 0$
2) $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$
Шаг 4. Решим каждое уравнение отдельно.
Из $\cos(x) = 0$ следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$ следует, что $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k$, то есть $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5. Решением исходного уравнения является объединение найденных серий корней.

Ответ: Метод заключается в преобразовании уравнения к виду, где произведение нескольких выражений равно нулю, что позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых.