Номер 1, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к §18. ч. 1 - номер 1, страница 125.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1 (с. 125)
Условие. №1 (с. 125)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 125, номер 1, Условие

1. Назовите два основных метода решения тригонометрических уравнений.

Решение 6. №1 (с. 125)

Двумя основными и наиболее универсальными методами решения тригонометрических уравнений являются метод введения новой переменной и метод разложения на множители.

1. Метод введения новой переменной (метод замены)
Этот метод применяется, когда уравнение можно привести к алгебраическому виду (например, квадратному, кубическому) относительно одной тригонометрической функции ($\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$ и т.д.). Суть метода заключается в замене этой функции на новую переменную (например, $t$), решении полученного алгебраического уравнения относительно $t$ и последующем выполнении обратной замены для нахождения $x$.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0$.
Шаг 1. Введем замену. Пусть $t = \cos(x)$. Поскольку значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1, на новую переменную накладывается ограничение: $|t| \le 1$.
Шаг 2. Запишем уравнение с новой переменной. Оно становится квадратным: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
Шаг 3. Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни: $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$.
Шаг 4. Проверим корни на соответствие ограничению $|t| \le 1$. Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$. Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $|-2| > 1$.
Шаг 5. Выполним обратную замену для подходящего корня: $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Шаг 6. Решим простейшее тригонометрическое уравнение. Решения имеют вид: $x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому путем замены тригонометрической функции на новую переменную.

2. Метод разложения на множители
Этот метод используется, когда все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Уравнение вида $F(x) \cdot G(x) = 0$ равносильно совокупности уравнений $F(x)=0$ и $G(x)=0$ (при условии, что оба выражения определены). Это позволяет разбить одно сложное уравнение на несколько более простых.

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 1. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Уравнение принимает вид: $2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.
Шаг 2. Вынесем общий множитель $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Перейдем к совокупности двух уравнений:
1) $\cos(x) = 0$
2) $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$
Шаг 4. Решим каждое уравнение отдельно.
Из $\cos(x) = 0$ следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0$ следует, что $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k$, то есть $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5. Решением исходного уравнения является объединение найденных серий корней.

Ответ: Метод заключается в преобразовании уравнения к виду, где произведение нескольких выражений равно нулю, что позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 125 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 125), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться