Номер 2, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §17. ч. 1 - номер 2, страница 115.

2. Что такое $ \text{arcctg } a $?

Арккотангенс числа $a$, который обозначается как $\text{arcctg } a$, — это обратная тригонометрическая функция. По определению, $\text{arcctg } a$ — это такой угол $\alpha$ (в радианах), для которого выполняются два условия:

1. Котангенс этого угла равен $a$, то есть $\text{ctg } \alpha = a$.

2. Этот угол строго находится в интервале от $0$ до $\pi$, то есть $0 < \alpha < \pi$.

Второе условие (ограничение на интервал) необходимо, потому что функция котангенса является периодической, и без этого ограничения одному значению $a$ соответствовало бы бесконечное множество углов. Выбранный интервал $(0, \pi)$ соответствует главному значению арккотангенса.

Таким образом, функция $y = \text{arcctg}(x)$ является обратной к функции $y = \text{ctg}(x)$, рассматриваемой на интервале $(0, \pi)$, где она монотонно убывает.

Область определения и область значений:

• Область определения функции $\text{arcctg } a$ (все возможные значения $a$): все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений функции $\text{arcctg } a$: интервал $(0, \pi)$.

Примеры вычисления:

• $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $0 < \frac{\pi}{4} < \pi$.
• $\text{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $0 < \frac{\pi}{2} < \pi$.
• $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ и $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$.
• $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ и $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.

Ответ: Арккотангенсом числа $a$ ($\text{arcctg } a$) называется такой угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. Таким образом, запись $\alpha = \text{arcctg } a$ равносильна системе из двух условий: $\text{ctg } \alpha = a$ и $0 < \alpha < \pi$.