Номер 5, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §16. ч. 1 - номер 5, страница 111.
№5 (с. 111)
Условие. №5 (с. 111)
скриншот условия

5. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос:
если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?
Решение 6. №5 (с. 111)
Для решения тригонометрического уравнения $\sin t = a$ с помощью числовой окружности, необходимо найти точки на окружности, у которых ордината (координата по оси Y) равна $a$. В нашем случае, мы ищем все точки на единичной окружности, для которых ордината равна $\frac{1}{3}$.
Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Каждой из этих точек соответствует бесконечное множество действительных чисел, являющихся решениями уравнения.
По условию, $t_0$ — это одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$. Это означает, что на числовой окружности числу $t_0$ соответствует одна из двух упомянутых точек пересечения. Из-за периодичности функции синус, все числа, которым соответствует та же самая точка на окружности, отличаются от $t_0$ на целое число полных оборотов ($2\pi$). Таким образом, одна серия решений уравнения имеет вид:
$t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел).
Теперь рассмотрим вторую точку пересечения. Как было сказано, она симметрична первой точке относительно оси Oy. Если первой точке соответствует число (угол) $t_0$, то второй точке будет соответствовать число (угол) $\pi - t_0$. Мы можем это проверить, используя формулу приведения: $\sin(\pi - t_0) = \sin t_0 = \frac{1}{3}$. Следовательно, числа вида $\pi - t_0$ также являются решениями исходного уравнения. Учитывая периодичность, вторая серия решений записывается формулой:
$t = \pi - t_0 + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединив обе серии, мы получим полный набор всех решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, выраженный через одно известное решение $t_0$.
Ответ: Если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то все решения этого уравнения можно записать в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = \pi - t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 111 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 111), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.