Номер 5, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §16 - номер 5, страница 111.

Условие.

5. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос:

если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Решение 6.

Для решения тригонометрического уравнения $\sin t = a$ с помощью числовой окружности, необходимо найти точки на окружности, у которых ордината (координата по оси Y) равна $a$. В нашем случае, мы ищем все точки на единичной окружности, для которых ордината равна $\frac{1}{3}$.

Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Каждой из этих точек соответствует бесконечное множество действительных чисел, являющихся решениями уравнения.

По условию, $t_0$ — это одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$. Это означает, что на числовой окружности числу $t_0$ соответствует одна из двух упомянутых точек пересечения. Из-за периодичности функции синус, все числа, которым соответствует та же самая точка на окружности, отличаются от $t_0$ на целое число полных оборотов ($2\pi$). Таким образом, одна серия решений уравнения имеет вид:

$t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел).

Теперь рассмотрим вторую точку пересечения. Как было сказано, она симметрична первой точке относительно оси Oy. Если первой точке соответствует число (угол) $t_0$, то второй точке будет соответствовать число (угол) $\pi - t_0$. Мы можем это проверить, используя формулу приведения: $\sin(\pi - t_0) = \sin t_0 = \frac{1}{3}$. Следовательно, числа вида $\pi - t_0$ также являются решениями исходного уравнения. Учитывая периодичность, вторая серия решений записывается формулой:

$t = \pi - t_0 + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив обе серии, мы получим полный набор всех решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, выраженный через одно известное решение $t_0$.

Ответ: Если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то все решения этого уравнения можно записать в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = \pi - t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).