Номер 4, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §15. ч. 1 - номер 4, страница 104.
№4 (с. 104)
Условие. №4 (с. 104)
скриншот условия

4. Как связаны между собой числа $arccos\,a$ и $arccos(-a)$, где $|a| \le 1$?
Решение 6. №4 (с. 104)
Для того чтобы найти связь между числами $\arccos(a)$ и $\arccos(-a)$, где $|a| \le 1$, мы воспользуемся определением функции арккосинуса и известными тригонометрическими тождествами.
1. По определению арккосинуса, если мы обозначим $\alpha = \arccos(a)$, то это будет означать два факта:
- $\cos(\alpha) = a$
- $0 \le \alpha \le \pi$
2. Аналогично, если мы обозначим $\beta = \arccos(-a)$, то это означает:
- $\cos(\beta) = -a$
- $0 \le \beta \le \pi$
3. Теперь подставим значение $a$ из первого пункта в равенство для $\cos(\beta)$ из второго пункта:$\cos(\beta) = -(\cos(\alpha))$
4. Мы получили соотношение $\cos(\beta) = -\cos(\alpha)$. Воспользуемся формулой приведения для косинуса, которая гласит: $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$. Применив эту формулу, мы можем переписать наше уравнение в виде:$\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha)$
5. Из равенства косинусов двух углов не всегда следует равенство самих углов. Однако функция косинуса является строго монотонной (убывающей) на отрезке $[0, \pi]$, а значит, на этом отрезке каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла. Нам нужно убедиться, что оба угла, $\beta$ и $(\pi - \alpha)$, принадлежат этому отрезку.
Проверим диапазон для $(\pi - \alpha)$. Мы знаем, что $0 \le \alpha \le \pi$.
Умножив неравенство на $-1$, получим: $-\pi \le -\alpha \le 0$.
Прибавив $\pi$ ко всем частям, получим: $\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$, что дает $0 \le \pi - \alpha \le \pi$.
Поскольку оба угла, $\beta$ (по определению) и $(\pi - \alpha)$ (как мы только что показали), лежат в отрезке $[0, \pi]$, из равенства $\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha)$ следует равенство самих углов:$\beta = \pi - \alpha$
6. Наконец, подставим обратно исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$:$\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$
Это равенство можно также записать в симметричной форме, перенеся $\arccos(a)$ в левую часть:$\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$
Ответ: Числа $\arccos(a)$ и $\arccos(-a)$ для любого $a$ из отрезка $[-1, 1]$ связаны тождеством $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 104 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 104), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.