Номер 4, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §15 - номер 4, страница 104.

Условие.

4. Как связаны между собой числа $arccos\,a$ и $arccos(-a)$, где $|a| \le 1$?

Решение 6.

Для того чтобы найти связь между числами $\arccos(a)$ и $\arccos(-a)$, где $|a| \le 1$, мы воспользуемся определением функции арккосинуса и известными тригонометрическими тождествами.

1. По определению арккосинуса, если мы обозначим $\alpha = \arccos(a)$, то это будет означать два факта:

• $\cos(\alpha) = a$
• $0 \le \alpha \le \pi$

2. Аналогично, если мы обозначим $\beta = \arccos(-a)$, то это означает:

• $\cos(\beta) = -a$
• $0 \le \beta \le \pi$

3. Теперь подставим значение $a$ из первого пункта в равенство для $\cos(\beta)$ из второго пункта:$\cos(\beta) = -(\cos(\alpha))$

4. Мы получили соотношение $\cos(\beta) = -\cos(\alpha)$. Воспользуемся формулой приведения для косинуса, которая гласит: $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$. Применив эту формулу, мы можем переписать наше уравнение в виде:$\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha)$

5. Из равенства косинусов двух углов не всегда следует равенство самих углов. Однако функция косинуса является строго монотонной (убывающей) на отрезке $[0, \pi]$, а значит, на этом отрезке каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла. Нам нужно убедиться, что оба угла, $\beta$ и $(\pi - \alpha)$, принадлежат этому отрезку.

Проверим диапазон для $(\pi - \alpha)$. Мы знаем, что $0 \le \alpha \le \pi$.
Умножив неравенство на $-1$, получим: $-\pi \le -\alpha \le 0$.
Прибавив $\pi$ ко всем частям, получим: $\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$, что дает $0 \le \pi - \alpha \le \pi$.

Поскольку оба угла, $\beta$ (по определению) и $(\pi - \alpha)$ (как мы только что показали), лежат в отрезке $[0, \pi]$, из равенства $\cos(\beta) = \cos(\pi - \alpha)$ следует равенство самих углов:$\beta = \pi - \alpha$

6. Наконец, подставим обратно исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$:$\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$

Это равенство можно также записать в симметричной форме, перенеся $\arccos(a)$ в левую часть:$\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$

Ответ: Числа $\arccos(a)$ и $\arccos(-a)$ для любого $a$ из отрезка $[-1, 1]$ связаны тождеством $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.