Номер 1, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 2. ч. 1 - номер 1, страница 96.

1. Из истории развития тригонометрии.

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. Ее история насчитывает тысячелетия и тесно переплетена с развитием астрономии, навигации и геодезии.

Зарождение в Древнем мире

Истоки тригонометрии можно проследить до древних цивилизаций, где она возникала из практических задач.В Древнем Вавилоне (около 1900–1600 гг. до н.э.) для астрономических и строительных нужд использовались таблицы с пифагоровыми тройками. Знаменитая глиняная табличка Плимптон 322 является свидетельством этих ранних вычислений, которые можно считать прообразом тригонометрических таблиц.В Древнем Египте при строительстве пирамид применялось понятие «секед» — величина, соответствующая котангенсу угла наклона грани. Это был один из первых примеров применения тригонометрических концепций на практике.

Античная Греция: систематизация знаний

Систематическое развитие тригонометрии началось в эллинистической Греции. Греческие математики строили свою теорию не на синусах и косинусах, а на понятии «хорда». Хорда, стягивающая дугу с центральным углом $\alpha$ в окружности радиуса $R$, связана с современным синусом через формулу: $chord(\alpha) = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

• Гиппарх Никейский (II в. до н.э.), которого часто называют «отцом тригонометрии», составил первые известные таблицы хорд. Эти таблицы позволяли ему решать задачи сферической тригонометрии для нужд астрономии, например, вычислять размеры и расстояния до Солнца и Луны.
• Клавдий Птолемей (II в. н.э.) в своем монументальном труде «Альмагест» продолжил и расширил работу Гиппарха. Он представил более точные и подробные таблицы хорд, а также вывел геометрические теоремы, эквивалентные современным формулам для синуса и косинуса суммы и разности углов.

Вклад Индии и стран исламского мира

Индийские математики совершили важный концептуальный шаг, перейдя от использования хорд к синусам (точнее, к половине хорды при удвоенном угле).

• В V-VI веках индийский математик и астроном Ариабхата в своем трактате «Ариабхатия» ввел понятие «джива» (или «ардха-джива»), что является аналогом современного синуса, и составил первые таблицы синусов.
• В Средние века ученые исламского мира перевели, изучили и значительно обогатили труды греческих и индийских математиков. Ал-Баттани (IX-X вв.) ввел понятия котангенса и секанса. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани (X в.) ввел тангенс, косеканс и построил для них таблицы, а также вывел формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
• Ключевой фигурой стал Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.). В своем «Трактате о полном четырехстороннике» он впервые рассмотрел тригонометрию как самостоятельную математическую науку, отдельную от астрономии. Он сформулировал и доказал теорему синусов для плоских треугольников в ее современном виде: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Тригонометрия в Европе и ее современный вид

Знания по тригонометрии начали проникать в Европу в XII-XIII веках через переводы с арабского языка. Ее дальнейшее развитие привело к созданию современного математического аппарата.

• Немецкий математик Региомонтан (Иоганн Мюллер, XV в.) в своем труде «О треугольниках всякого рода» систематизировал знания по тригонометрии и способствовал ее популяризации в Европе как отдельной дисциплины.
• Франсуа Виет (XVI в.) установил прочную связь между тригонометрией и алгеброй, в частности, выведя формулы для синусов и косинусов кратных углов.
• Решающий вклад в формирование современной тригонометрии внес Леонард Эйлер (XVIII в.). Он ввел стандартные обозначения ($\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \csc$), начал рассматривать тригонометрические функции как функции числового аргумента, а не просто как отношения сторон в треугольнике. Его величайшим достижением стала формула Эйлера $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая элегантно связала тригонометрические функции с показательной функцией и комплексными числами. Эта формула стала мощнейшим инструментом для вывода тригонометрических тождеств и анализа периодических процессов.

Ответ:
История развития тригонометрии — это процесс эволюции от практических методов измерения к фундаментальной математической теории. Ключевые этапы включают:

1. Древний мир (Вавилон, Египет): Зарождение в виде практических приемов для астрономии и строительства.
2. Античная Греция (Гиппарх, Птолемей): Систематизация знаний на основе понятия «хорда» для астрономических вычислений.
3. Индия (Ариабхата): Переход от хорд к современному понятию синуса и создание первых таблиц синусов.
4. Исламский мир (Ал-Баттани, Абу-ль-Вафа, Ат-Туси): Введение всех шести тригонометрических функций, доказательство теоремы синусов и выделение тригонометрии в самостоятельную дисциплину.
5. Европа (Региомонтан, Виет, Эйлер): Систематизация знаний, установление связи с алгеброй и, наконец, создание современного аналитического аппарата тригонометрии Леонардом Эйлером, включая стандартные обозначения и знаменитую формулу $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая определила ее современный вид и применение.