Номер 2, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 2. ч. 1 - номер 2, страница 96.

2. Замечательное число $\pi$.

Число $\pi$ (пи) — это одна из самых известных и важных математических констант. Оно представляет собой фундаментальное соотношение в геометрии, но его применение выходит далеко за ее пределы, затрагивая множество областей науки и техники.

Определение и значение

Число $\pi$ определяется как отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$. Это соотношение является постоянным для любой окружности, независимо от её размера. Математически это выражается формулой:

$\pi = \frac{C}{d}$

Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), формулу для длины окружности часто записывают как $C = 2\pi r$.

Число $\pi$ является иррациональным, что означает, что его десятичное представление бесконечно и непериодично. Его значение с точностью до пяти знаков после запятой равно 3,14159. Для большинства практических расчетов достаточно использовать приближенные значения, такие как 3,14 или дробь $\frac{22}{7}$.

Ответ: Число $\pi$ — это константа, равная отношению длины окружности к её диаметру, приблизительно равная 3,14159.

Свойства числа π

Число $\pi$ обладает уникальными математическими свойствами:

• Иррациональность: $\pi$ нельзя представить в виде простой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Это было доказано в 1761 году Иоганном Ламбертом.
• Трансцендентность: $\pi$ не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Это более сильное свойство, чем иррациональность, и оно было доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом. Следствием трансцендентности $\pi$ является невозможность решения классической античной задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки.

Ответ: $\pi$ — иррациональное и трансцендентное число.

История вычисления

Попытки определить точное значение $\pi$ предпринимались с древнейших времен.

• Древний Вавилон и Египет: Уже в древности математики понимали, что отношение длины окружности к диаметру постоянно. Вавилоняне использовали приближение $\pi \approx 3.125$, а египтяне — $\pi \approx (\frac{16}{9})^2 \approx 3.16$.
• Архимед (III век до н.э.): Великий греческий математик Архимед впервые применил строгий математический метод для оценки $\pi$. Он вписывал и описывал вокруг окружности правильные многоугольники и, увеличивая число их сторон, получал всё более точные оценки. Он показал, что $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$.
• Новое время: С развитием математического анализа в XVII-XVIII веках были открыты формулы, выражающие $\pi$ через бесконечные ряды и произведения. Например, ряд Лейбница: $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$
• Компьютерная эра: С появлением компьютеров вычисление знаков $\pi$ стало своего рода соревнованием. На сегодняшний день известны десятки триллионов знаков после запятой. Эти вычисления используются для тестирования производительности суперкомпьютеров и алгоритмов.

Ответ: Значение числа $\pi$ уточнялось на протяжении тысячелетий, начиная с грубых оценок в древности, через геометрический метод Архимеда, к использованию бесконечных рядов и современных компьютерных вычислений.

Применение в науке и технике

Число $\pi$ встречается в огромном количестве формул в различных областях знаний.

• Геометрия:
  • Длина окружности: $C = 2\pi r$
  • Площадь круга: $S = \pi r^2$
  • Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
  • Площадь поверхности сферы: $A = 4\pi r^2$
• Физика и инженерия: $\pi$ появляется в уравнениях, описывающих колебания (период маятника $T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$), волны, электромагнетизм, общую теорию относительности (уравнения Эйнштейна) и квантовую механику (принцип неопределенности Гейзенберга).
• Теория вероятностей и статистика: Например, в формуле плотности нормального распределения, которое описывает множество случайных явлений: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$.
• Математический анализ: Число $\pi$ связывает, на первый взгляд, не связанные между собой константы в знаменитом тождестве Эйлера: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Ответ: Число $\pi$ является фундаментальным для геометрии, а также широко применяется в физике, инженерии, статистике и многих других научных дисциплинах для описания периодических процессов, сферических объектов и статистических распределений.