Номер 5, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §14 - номер 5, страница 94.

Условие.

5. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции

$y = \cot x$.

Решение 6.

Вертикальные асимптоты функции – это вертикальные прямые, к которым график функции неограниченно приближается. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ их можно найти, проанализировав ее область определения.

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Функция не определена в точках, где ее знаменатель обращается в нуль, так как деление на ноль невозможно. В этих точках и находятся вертикальные асимптоты.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение: $\sin x = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет решения: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (то есть $k$ – любое целое число). Таким образом, график функции $y = \operatorname{ctg} x$ имеет бесконечное множество вертикальных асимптот вида $x = k\pi$, например $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$, $x=-\pi$ и так далее.

Под "главной ветвью" графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ традиционно понимают ее часть, расположенную на интервале $(0, \pi)$. Этот интервал выбирается в качестве области значений для функции арккотангенса, чтобы обеспечить ее однозначность.

Следовательно, для нахождения вертикальных асимптот главной ветви нужно выбрать те асимптоты из общего семейства $x = k\pi$, которые ограничивают интервал $(0, \pi)$. Это асимптоты, которые соответствуют значениям $k=0$ и $k=1$:

• при $k=0$ получаем асимптоту $x = 0$;
• при $k=1$ получаем асимптоту $x = \pi$.

Эти две прямые и являются вертикальными асимптотами главной ветви графика функции.

Ответ: $x=0$ и $x=\pi$.