Номер 3, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §14. ч. 1 - номер 3, страница 94.

3. Что вы можете сказать о чётности или нечётности функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

Для исследования функции $y=f(x)$ на чётность или нечётность необходимо выполнить два шага:

1. Убедиться, что область определения функции симметрична относительно точки $x=0$. То есть, если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать.
2. Найти значение функции от аргумента $-x$, то есть $f(-x)$, и сравнить его с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является нечётной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

Проанализируем каждую из заданных функций.

$y = \sin x$

Пусть $f(x) = \sin x$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \sin(-x)$. Известно свойство синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$. Следовательно, $f(-x) = -\sin x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \sin x$ нечётная.

$y = \cos x$

Пусть $f(x) = \cos x$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \cos(-x)$. Известно свойство косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Следовательно, $f(-x) = \cos x = f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция $y = \cos x$ чётная.

$y = \operatorname{tg} x$

Пусть $f(x) = \operatorname{tg} x$. Область определения тангенса: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \operatorname{tg}(-x)$. Используя определение тангенса и свойства синуса и косинуса, получаем: $f(-x) = \operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \operatorname{tg} x$ нечётная.

$y = \operatorname{ctg} x$

Пусть $f(x) = \operatorname{ctg} x$. Область определения котангенса: все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x)$. Используя определение котангенса и свойства синуса и косинуса, получаем: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция $y = \operatorname{ctg} x$ нечётная.