Номер 6, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §15. ч. 1 - номер 6, страница 104.
№6 (с. 104)
Условие. №6 (с. 104)
скриншот условия

6. Запишите в общем виде решения уравнения $ \cos x = a $, где $ |a| \le 1 $.
Решение 6. №6 (с. 104)
Для нахождения общего вида решений тригонометрического уравнения $ \cos x = a $, где по условию $ |a| \le 1 $, необходимо рассмотреть свойства функции косинус и определение арккосинуса.
1. Определение арккосинуса. Арккосинусом числа $ a $ (обозначается $ \arccos a $) называется угол из отрезка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ a $. Таким образом, $ \arccos a $ является одним из решений уравнения $ \cos x = a $, и это решение всегда находится в промежутке от $ 0 $ до $ \pi $.
2. Четность функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является четной, что означает $ \cos(-x) = \cos x $ для любого $ x $. Следовательно, если $ x_0 = \arccos a $ является решением уравнения, то и $ -x_0 = -\arccos a $ также будет решением, поскольку $ \cos(-\arccos a) = \cos(\arccos a) = a $. Эти два решения, $ \arccos a $ и $ -\arccos a $, являются основными на промежутке $ [-\pi, \pi] $.
3. Периодичность функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является периодической с наименьшим положительным периодом $ 2\pi $. Это значит, что все значения функции повторяются через каждый интервал длиной $ 2\pi $. Если $ x_0 $ является решением уравнения $ \cos x = a $, то и все числа вида $ x_0 + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $), также являются решениями.
Объединив эти факты, мы можем записать все решения уравнения. У нас есть две основные серии решений, которые получаются из двух базовых корней $ \arccos a $ и $ -\arccos a $ путем добавления всех возможных периодов:
$ x_1 = \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x_2 = -\arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Эти две серии решений можно компактно записать в виде одной формулы, используя знак "плюс-минус":
$ x = \pm \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Эта формула и представляет собой общее решение уравнения $ \cos x = a $ при условии $ |a| \le 1 $.
Ответ: $ x = \pm \arccos a + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 104 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 104), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.