Номер 6, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §15 - номер 6, страница 104.

Условие.

6. Запишите в общем виде решения уравнения $ \cos x = a $, где $ |a| \le 1 $.

Решение 6.

Для нахождения общего вида решений тригонометрического уравнения $ \cos x = a $, где по условию $ |a| \le 1 $, необходимо рассмотреть свойства функции косинус и определение арккосинуса.

1. Определение арккосинуса. Арккосинусом числа $ a $ (обозначается $ \arccos a $) называется угол из отрезка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ a $. Таким образом, $ \arccos a $ является одним из решений уравнения $ \cos x = a $, и это решение всегда находится в промежутке от $ 0 $ до $ \pi $.

2. Четность функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является четной, что означает $ \cos(-x) = \cos x $ для любого $ x $. Следовательно, если $ x_0 = \arccos a $ является решением уравнения, то и $ -x_0 = -\arccos a $ также будет решением, поскольку $ \cos(-\arccos a) = \cos(\arccos a) = a $. Эти два решения, $ \arccos a $ и $ -\arccos a $, являются основными на промежутке $ [-\pi, \pi] $.

3. Периодичность функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является периодической с наименьшим положительным периодом $ 2\pi $. Это значит, что все значения функции повторяются через каждый интервал длиной $ 2\pi $. Если $ x_0 $ является решением уравнения $ \cos x = a $, то и все числа вида $ x_0 + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $), также являются решениями.

Объединив эти факты, мы можем записать все решения уравнения. У нас есть две основные серии решений, которые получаются из двух базовых корней $ \arccos a $ и $ -\arccos a $ путем добавления всех возможных периодов:

$ x_1 = \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x_2 = -\arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Эти две серии решений можно компактно записать в виде одной формулы, используя знак "плюс-минус":

$ x = \pm \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Эта формула и представляет собой общее решение уравнения $ \cos x = a $ при условии $ |a| \le 1 $.

Ответ: $ x = \pm \arccos a + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.