Номер 27.6, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.6, страница 95.

27.6 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s(t)$, где $t$ — время, $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = t^2 + 3;$

б) $s(t) = t^2 - t;$

в) $s(t) = t^2 + 4;$

г) $s(t) = t^2 - 2t.$

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ является производной от функции отклонения (координаты) $s(t)$ по времени $t$. Это один из основных физических смыслов производной. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.

Формула для нахождения скорости: $v(t) = s'(t)$.

Для решения задачи будем использовать следующие правила дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$
• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная суммы/разности функций: $(f(t) \pm g(t))' = f'(t) \pm g'(t)$
• Производная функции, умноженной на константу: $(k \cdot f(t))' = k \cdot f'(t)$

Применим эти правила к каждому из случаев.

а) Дана функция движения $s(t) = t^2 + 3$.

Находим производную этой функции по времени $t$, чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 + 3)' = (t^2)' + (3)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от константы $3$ равна $0$.

$v(t) = 2t + 0 = 2t$

Ответ: $v(t) = 2t$.

б) Дана функция движения $s(t) = t^2 - t$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 - t)' = (t^2)' - (t)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от $t$ равна $1$.

$v(t) = 2t - 1$

Ответ: $v(t) = 2t - 1$.

в) Дана функция движения $s(t) = t^2 + 4$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 + 4)' = (t^2)' + (4)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от константы $4$ равна $0$.

$v(t) = 2t + 0 = 2t$

Ответ: $v(t) = 2t$.

г) Дана функция движения $s(t) = t^2 - 2t$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 - 2t)' = (t^2)' - (2t)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от $2t$ равна $2 \cdot (t)' = 2 \cdot 1 = 2$.

$v(t) = 2t - 2$

Ответ: $v(t) = 2t - 2$.