Номер 27.10, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.10, страница 97.

27.10 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (см. рис. 39). Сравните значения производной в указанных точках:

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;

б) $f'(-4)$ и $f'(2);$

в) $f'(-9)$ и $f'(0);$

г) $f'(-1)$ и $f'(5).$

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

Из этого следует:

• Если функция возрастает на некотором интервале, то её производная на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$), так как касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
• Если функция убывает, то её производная отрицательна ($f'(x) < 0$), так как касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
• В точках экстремума (максимума или минимума), где касательная горизонтальна, производная равна нулю.
• Чем «круче» вверх идет график функции, тем больше значение производной.
• Чем «круче» вниз идет график функции, тем меньше (т.е. более отрицательно) значение производной.

Проанализируем график функции $y = f(x)$ из рис. 39. Мы видим, что функция имеет точку максимума при $x \approx -8$ и точку минимума при $x \approx 3$. Следовательно:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -8)$ и $(3; \infty)$.
• Функция убывает на промежутке $(-8; 3)$.

Теперь сравним значения производной в указанных точках.

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$

Точки $x = -7$ и $x = -2$ принадлежат интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Следовательно, производные в этих точках отрицательны: $f'(-7) < 0$ и $f'(-2) < 0$.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, оценим крутизну графика. В точке $x = -7$, которая находится близко к точке максимума $x = -8$, график убывает достаточно полого. Касательная в этой точке имеет небольшой отрицательный наклон, то есть значение производной близко к нулю.

В точке $x = -2$ график убывает заметно круче, чем в точке $x = -7$. Это означает, что наклон касательной в точке $x = -2$ является более отрицательным числом, чем наклон в точке $x = -7$.

Таким образом, $f'(-2)$ меньше, чем $f'(-7)$.

Ответ: $f'(-7) > f'(-2)$.

б) $f'(-4)$ и $f'(2)$

Точки $x = -4$ и $x = 2$ также принадлежат интервалу убывания функции $(-8; 3)$, поэтому обе производные отрицательны: $f'(-4) < 0$ и $f'(2) < 0$.

Сравним крутизну убывания. Точка $x = 2$ находится близко к точке минимума $x = 3$. В этой области график становится более пологим, готовясь к смене направления. Следовательно, наклон касательной в точке $x=2$ отрицателен, но близок к нулю.

В точке $x = -4$ график убывает значительно круче, чем в точке $x = 2$. Значит, значение производной в точке $x = -4$ является более отрицательным числом.

Следовательно, $f'(-4)$ меньше, чем $f'(2)$.

Ответ: $f'(-4) < f'(2)$.

в) $f'(-9)$ и $f'(0)$

Точка $x = -9$ принадлежит интервалу возрастания функции $(-\infty; -8)$. Значит, производная в этой точке положительна: $f'(-9) > 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Значит, производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $f'(-9) > f'(0)$.

Ответ: $f'(-9) > f'(0)$.

г) $f'(-1)$ и $f'(5)$

Точка $x = -1$ принадлежит интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(-1) < 0$.

Точка $x = 5$ принадлежит интервалу возрастания функции $(3; \infty)$. Следовательно, производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного.

Таким образом, $f'(-1) < f'(5)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(5)$.