Номер 27.15, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.15, страница 98.

27.15 Пользуясь алгоритмом нахождения производной (см. п. 2 в §27), выведите формулу дифференцирования функции:

а) $y = x^2 + x$;

б) $y = 2x^2 - 3$;

в) $y = 3x - 2x^2$;

г) $y = x^4 + 4x - 5$.

Для вывода формул дифференцирования воспользуемся определением производной функции $y=f(x)$ в точке $x$:

$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Алгоритм нахождения производной:

1. Найти приращение функции $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.
2. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

а) $y = x^2 + x$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x)) - (x^2 + x)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x) - x^2 - x$

Упростим выражение:

$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 1)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 1$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 1) = 2x + 0 + 1 = 2x + 1$

Ответ: $y' = 2x + 1$

б) $y = 2x^2 - 3$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (2(x + \Delta x)^2 - 3) - (2x^2 - 3)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 3) - 2x^2 + 3$

$\Delta y = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 3 - 2x^2 + 3$

Упростим выражение:

$\Delta y = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x\Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(4x + 2\Delta x)}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4x + 2 \cdot 0 = 4x$

Ответ: $y' = 4x$

в) $y = 3x - 2x^2$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x) - 2(x + \Delta x)^2) - (3x - 2x^2)$

Раскроем скобки:

$\Delta y = (3x + 3\Delta x - 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2)) - 3x + 2x^2$

$\Delta y = 3x + 3\Delta x - 2x^2 - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2 - 3x + 2x^2$

Упростим выражение:

$\Delta y = 3\Delta x - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3\Delta x - 4x\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3 - 4x - 2\Delta x)}{\Delta x} = 3 - 4x - 2\Delta x$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (3 - 4x - 2\Delta x) = 3 - 4x - 2 \cdot 0 = 3 - 4x$

Ответ: $y' = 3 - 4x$

г) $y = x^4 + 4x - 5$

1. Найдем приращение функции $\Delta y$:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^4 + 4(x + \Delta x) - 5) - (x^4 + 4x - 5)$

Используем формулу бинома Ньютона для $(x + \Delta x)^4 = x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4$ и раскроем скобки:

$\Delta y = (x^4 + 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + \dots + 4x + 4\Delta x - 5) - x^4 - 4x + 5$

Упростим выражение. Все слагаемые, не содержащие $\Delta x$, сократятся:

$\Delta y = 4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x$

2. Найдем отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4x^3\Delta x + 6x^2(\Delta x)^2 + 4x(\Delta x)^3 + (\Delta x)^4 + 4\Delta x}{\Delta x}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4$

3. Вычислим предел:

$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (4x^3 + 6x^2\Delta x + 4x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 4)$

Все слагаемые, содержащие $\Delta x$, стремятся к нулю:

$y' = 4x^3 + 0 + 0 + 0 + 4 = 4x^3 + 4$

Ответ: $y' = 4x^3 + 4$