Номер 28.5, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.5, страница 99.

Найдите скорость изменения функции $y = h(x)$ в точке $x_0$, если:

28.5 a) $h(x) = 7x - 19, x_0 = -2;$

в) $h(x) = -6x + 4, x_0 = 0,5;$

б) $h(x) = \sqrt{x}, x_0 = 16;$

г) $h(x) = \sqrt{x}, x_0 = 9.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке. Таким образом, чтобы найти скорость изменения функции $y=h(x)$ в точке $x_0$, необходимо найти ее производную $h'(x)$ и вычислить значение этой производной в точке $x_0$, то есть найти $h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = 7x - 19$ и точка $x_0 = -2$.
Находим производную функции:
$h'(x) = (7x - 19)' = (7x)' - (19)' = 7 \cdot 1 - 0 = 7$.
Производная является константой, поэтому ее значение в любой точке, включая $x_0 = -2$, равно 7.
$h'(-2) = 7$.
Ответ: 7

б) Дана функция $h(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 16$.
Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$h'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$h'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Дана функция $h(x) = -6x + 4$ и точка $x_0 = 0,5$.
Находим производную функции:
$h'(x) = (-6x + 4)' = (-6x)' + (4)' = -6 \cdot 1 + 0 = -6$.
Производная является константой, поэтому ее значение в точке $x_0 = 0,5$ равно -6.
$h'(0,5) = -6$.
Ответ: -6

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.
Производная функции $h(x) = \sqrt{x}$ была найдена в пункте б):
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:
$h'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$