Номер 28.11, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.11, страница 99.

28.11 a) $y = \frac{1}{x} + 4x;$

б) $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x};$

В) $y = \frac{1}{x} - 6x;$

Г) $y = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}.$

а)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{x} + 4x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и табличными значениями производных.
Производная суммы функций равна сумме их производных:
$y' = (\frac{1}{x} + 4x)' = (\frac{1}{x})' + (4x)'$.
Согласно таблице производных, производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, а производная от $kx$ равна $k$.
Следовательно, $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ и $(4x)' = 4$.
Подставляем найденные значения в выражение для производной:
$y' = -\frac{1}{x^2} + 4$.

Ответ: $y' = 4 - \frac{1}{x^2}$

б)

Дана функция $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$. Для нахождения ее производной $y'$ применим правило дифференцирования разности.
$y' = (-2\sqrt{x} - \frac{1}{x})' = (-2\sqrt{x})' - (\frac{1}{x})'$.
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Для первого слагаемого используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной квадратного корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$(-2\sqrt{x})' = -2 \cdot (\sqrt{x})' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого известна из таблицы производных: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{x}} - (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

в)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{x} - 6x$, применим правило дифференцирования разности и воспользуемся таблицей производных.
$y' = (\frac{1}{x} - 6x)' = (\frac{1}{x})' - (6x)'$.
Из таблицы производных мы знаем, что $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ и $(kx)' = k$.
В нашем случае, $(6x)' = 6$.
Подставляем значения в выражение для производной:
$y' = -\frac{1}{x^2} - 6$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2} - 6$

г)

Дана функция $y = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}$. Для нахождения ее производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы.
$y' = (8\sqrt{x} + \frac{1}{x})' = (8\sqrt{x})' + (\frac{1}{x})'$.
Найдем производную каждого слагаемого.
Для первого слагаемого: $(8\sqrt{x})' = 8 \cdot (\sqrt{x})' = 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$.
Для второго слагаемого: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Складываем полученные результаты:
$y' = \frac{4}{\sqrt{x}} + (-\frac{1}{x^2}) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$