Номер 28.17, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.17, страница 100.

28.17 a) $y = \left(\frac{1}{x} + 1\right) (2x - 3);$

Б) $y = \sqrt{x} \cos x;$

В) $y = \left(\frac{1}{x} + 8\right) (5x - 2);$

Г) $y = \sqrt{x} \sin x;$

а) $y = (\frac{1}{x} + 1)(2x - 3)$

Для нахождения производной этой функции можно пойти двумя путями: использовать правило дифференцирования произведения или сначала упростить выражение. Второй способ в данном случае проще.

1. Раскроем скобки в выражении для $y$:

$y = \frac{1}{x} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 3 + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3$

2. Упростим полученное выражение:

$y = 2 - \frac{3}{x} + 2x - 3 = 2x - \frac{3}{x} - 1$

3. Теперь найдем производную функции $y$ по $x$. Запишем $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (2x - 3x^{-1} - 1)'$

$y' = (2x)' - (3x^{-1})' - (1)'$

$y' = 2 - 3(-1)x^{-2} - 0$

$y' = 2 + 3x^{-2}$

4. Запишем результат в более привычном виде:

$y' = 2 + \frac{3}{x^2}$

Ответ: $y' = 2 + \frac{3}{x^2}$

б) $y = \sqrt{x} \cos x$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \cos x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

2. Подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$

3. Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

в) $y = (\frac{1}{x} + 8)(5x - 2)$

Аналогично пункту а), сначала упростим исходное выражение, раскрыв скобки.

1. Раскроем скобки:

$y = \frac{1}{x} \cdot 5x + \frac{1}{x} \cdot (-2) + 8 \cdot 5x + 8 \cdot (-2)$

2. Упростим выражение:

$y = 5 - \frac{2}{x} + 40x - 16 = 40x - \frac{2}{x} - 11$

3. Найдем производную функции $y$ по $x$, представив $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$:

$y' = (40x - 2x^{-1} - 11)'$

$y' = (40x)' - (2x^{-1})' - (11)'$

$y' = 40 - 2(-1)x^{-2} - 0$

$y' = 40 + 2x^{-2}$

4. Преобразуем результат к окончательному виду:

$y' = 40 + \frac{2}{x^2}$

Ответ: $y' = 40 + \frac{2}{x^2}$

г) $y = \sqrt{x} \sin x$

Эта функция, как и в пункте б), является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sin x$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

1. Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

2. Подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x$

3. Запишем итоговое выражение:

$y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$