Номер 28.24, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.24, страница 101.

28.24 Вычислите скорость изменения данной функции в данной точке $x_0$:

а) $y = 2 \sin x - 4x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}, x_0 = -\frac{\pi}{3}$;

в) $y = -3 \cos x + x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

г) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

а) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = 2 \sin x - 4x$:
$y'(x) = (2 \sin x - 4x)' = (2 \sin x)' - (4x)' = 2\cos x - 4$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - 4 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 1 - 4 = -3$.
Ответ: $-3$.

б) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}$:
$y'(x) = (\frac{1}{3}\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{3\cos^2 x}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{3}$:
$y'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$. Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$ и значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3(\cos(\frac{\pi}{3}))^2} = \frac{1}{3(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = -3 \cos x + x$:
$y'(x) = (-3 \cos x + x)' = (-3\cos x)' + (x)' = -3(-\sin x) + 1 = 3\sin x + 1$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:
$y'(-\frac{\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{\pi}{6}) + 1$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y'(-\frac{\pi}{6}) = 3(-\sin(\frac{\pi}{6})) + 1 = 3(-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Скорость изменения функции в данной точке - это значение ее производной в этой точке.
1. Найдем производную функции $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}$:
$y'(x) = (\frac{1}{5}\operatorname{ctg} x)' = \frac{1}{5}(\operatorname{ctg} x)' = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5\sin^2 x}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{5\sin^2(\frac{\pi}{3})}$. Используя значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{5(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\frac{1}{5 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{15}{4}} = -\frac{4}{15}$.
Ответ: $-\frac{4}{15}$.