Номер 28.29, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.29, страница 102.

28.29 a) $y = \sin(3x - 9)$;

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$;

в) $y = \cos(9x - 10)$;

г) $y = \sin(5 - 3x)$.

а) $y = \sin(3x - 9)$
Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае, внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя функция $u = g(x) = 3x - 9$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - 9)' = 3$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$y' = \cos(3x - 9) \cdot (3x - 9)' = \cos(3x - 9) \cdot 3 = 3\cos(3x - 9)$.
Ответ: $y' = 3\cos(3x - 9)$.

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$
Это сложная функция. Применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $u = g(x) = \frac{\pi}{3} - 4x$.
Находим производные:
$f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
$g'(x) = \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)' = -4$.
По цепному правилу:
$y' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) \cdot \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) \cdot (-4) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$.
Ответ: $y' = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right)$.

в) $y = \cos(9x - 10)$
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $u = g(x) = 9x - 10$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (9x - 10)' = 9$.
Собираем производную сложной функции:
$y' = -\sin(9x - 10) \cdot (9x - 10)' = -\sin(9x - 10) \cdot 9 = -9\sin(9x - 10)$.
Ответ: $y' = -9\sin(9x - 10)$.

г) $y = \sin(5 - 3x)$
Используем цепное правило для нахождения производной.
Внешняя функция $f(u) = \sin u$, внутренняя функция $u = g(x) = 5 - 3x$.
Находим производные:
$f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
$g'(x) = (5 - 3x)' = -3$.
По цепному правилу:
$y' = \cos(5 - 3x) \cdot (5 - 3x)' = \cos(5 - 3x) \cdot (-3) = -3\cos(5 - 3x)$.
Ответ: $y' = -3\cos(5 - 3x)$.