Номер 28.36, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.36, страница 103.

Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

28.36 a) $f(x) = x^3 - x^4$;

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

а) $f(x) = x^3 - x^4$

Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^3 - x^4)' = (x^3)' - (x^4)' = 3x^2 - 4x^3$.

Теперь решим неравенство $3x^2 - 4x^3 < 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 - 4x) < 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$, данное неравенство будет выполняться только в том случае, если $x^2 \ne 0$ и второй множитель отрицателен.

1. $x^2 \ne 0 \implies x \ne 0$.

2. $3 - 4x < 0$.

Решим второе неравенство:

$3 < 4x$

$x > \frac{3}{4}$.

Объединяя условия $x \ne 0$ и $x > \frac{3}{4}$, получаем, что решение неравенства — это все значения $x$, которые больше $\frac{3}{4}$. Этот интервал не включает 0.

Таким образом, решением является промежуток $(\frac{3}{4}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}, +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 6 = x^4 - 5x^2 + 6$.

Теперь нам нужно решить неравенство $x^4 - 5x^2 + 6 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 5t + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства для $t$ есть $2 < t < 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$2 < x^2 < 3$.

Это двойное неравенство можно разбить на систему двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 > 2$:

$x^2 - 2 > 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 < 3$:

$x^2 - 3 < 0 \implies (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$.

Решением является $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это соответствует интервалам, где оба условия выполняются одновременно.

Пересекая множества $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$ и $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, получаем:

$x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$.