Номер 28.42, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.42, страница 103.

28.42 При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x)$:

a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2, g(x) = 7,5x^2 - 16x;$

б) $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \frac{-1}{x}$?

а) Скорость изменения функции — это её производная. Найдём производные для заданных функций $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 - 16x$.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.

Аналогично находим производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (7,5x^2 - 16x)' = 7,5 \cdot 2x^{2-1} - 16x^{1-1} = 15x - 16$.

Теперь приравняем скорости изменения (производные), чтобы найти искомые значения аргумента $x$:

$f'(x) = g'(x)$

$x^2 - 2x = 15x - 16$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15x + 16 = 0$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 17$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-(-17) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_{2} = \frac{-(-17) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

Оба значения являются решениями.

Ответ: при $x=1$ и $x=16$.

б) Найдём значения аргумента, при которых скорость изменения функции $f(x) = \sqrt{x}$ равна скорости изменения функции $g(x) = \frac{-1}{x}$.

Сначала найдём производные обеих функций. Важно учесть области определения: для функции $f(x)$ область определения $x \geq 0$, а для её производной $f'(x)$ область определения $x > 0$. Для функции $g(x)$ и её производной $g'(x)$ область определения $x \neq 0$. Следовательно, общее множество, на котором мы ищем решение, это $x > 0$.

Представим функции в виде степеней для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{1/2}$ и $g(x) = -x^{-1}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Приравняем производные, чтобы найти $x$:

$f'(x) = g'(x)$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}$

Поскольку $x > 0$, оба знаменателя не равны нулю, и мы можем применить основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x^2 = 2\sqrt{x}$

Чтобы избавиться от иррациональности, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(x^2)^2 = (2\sqrt{x})^2$

$x^4 = 4x$

Перенесём все члены в левую сторону и решим уравнение:

$x^4 - 4x = 0$

$x(x^3 - 4) = 0$

Это уравнение даёт два возможных решения: $x=0$ или $x^3 - 4 = 0$.

Первый корень $x=0$ не входит в область определения производной $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Решим второе уравнение:

$x^3 = 4$

$x = \sqrt[3]{4}$

Это значение удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является искомым решением.

Ответ: при $x=\sqrt[3]{4}$.