Номер 28.48, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.48, страница 104.

28.48 а) При каких значениях $a$ касательные к графикам функций $y = x^7$ и $y = x^8$ в точке $x = a$ не имеют общих точек?

б) При каких значениях $a$ касательные к графикам функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{x} + 8$ в точке $x = a$ не имеют общих точек?

а)

Две прямые не имеют общих точек, если они параллельны, но не совпадают. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ имеет вид $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Найдем уравнение касательной $y_1$ к графику функции $f(x) = x^7$ в точке $x=a$.
Производная функции: $f'(x) = 7x^6$.
В точке $x=a$: $f(a) = a^7$, $f'(a) = 7a^6$.
Уравнение касательной:
$y_1 = a^7 + 7a^6(x-a) = a^7 + 7a^6x - 7a^7 = 7a^6x - 6a^7$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = 7a^6$ и свободным членом $b_1 = -6a^7$.

2. Найдем уравнение касательной $y_2$ к графику функции $g(x) = x^8$ в точке $x=a$.
Производная функции: $g'(x) = 8x^7$.
В точке $x=a$: $g(a) = a^8$, $g'(a) = 8a^7$.
Уравнение касательной:
$y_2 = a^8 + 8a^7(x-a) = a^8 + 8a^7x - 8a^8 = 8a^7x - 7a^8$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = 8a^7$ и свободным членом $b_2 = -7a^8$.

3. Для того чтобы касательные не имели общих точек, они должны быть параллельны и не совпадать, то есть их угловые коэффициенты должны быть равны ($k_1=k_2$), а свободные члены — различны ($b_1 \neq b_2$).
Приравняем угловые коэффициенты: $k_1 = k_2 \Rightarrow 7a^6 = 8a^7$.
$8a^7 - 7a^6 = 0$
$a^6(8a - 7) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $a=0$ и $a=\frac{7}{8}$.

4. Проверим для каждого значения $a$ условие $b_1 \neq b_2$.
При $a=0$:
$b_1 = -6(0)^7 = 0$
$b_2 = -7(0)^8 = 0$
Так как $b_1 = b_2$, касательные совпадают (обе имеют уравнение $y=0$) и имеют бесконечно много общих точек. Этот случай не подходит.

При $a=\frac{7}{8}$:
$b_1 = -6(\frac{7}{8})^7$
$b_2 = -7(\frac{7}{8})^8$
Сравним $b_1$ и $b_2$. Предположим, что они равны: $-6(\frac{7}{8})^7 = -7(\frac{7}{8})^8$.
Так как $a \neq 0$, можно разделить обе части на $-(\frac{7}{8})^7$:
$6 = 7(\frac{7}{8})$
$6 = \frac{49}{8}$
$48 = 49$, что является ложным утверждением. Следовательно, $b_1 \neq b_2$.

Таким образом, при $a=\frac{7}{8}$ касательные параллельны и не совпадают, а значит, не имеют общих точек.

Ответ: $a=\frac{7}{8}$.

б)

Для существования касательных в точке $x=a$ необходимо, чтобы точка $a$ принадлежала области определения функций и их производных. Для $y=\sqrt{x}$: $a>0$. Для $y=2\sqrt{x+8}$: $x+8>0 \Rightarrow a>-8$. Общая область допустимых значений для $a$ — это $a>0$.

1. Найдем уравнение касательной $y_1$ к графику функции $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x=a$.
Производная: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Уравнение касательной: $y_1 = f(a) + f'(a)(x-a) = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a) = \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{a}{2\sqrt{a}} + \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}x + \frac{\sqrt{a}}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2\sqrt{a}}$, свободный член $b_1 = \frac{\sqrt{a}}{2}$.

2. Найдем уравнение касательной $y_2$ к графику функции $g(x) = 2\sqrt{x+8}$ в точке $x=a$.
Производная: $g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+8}} = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$.
Уравнение касательной: $y_2 = g(a) + g'(a)(x-a) = 2\sqrt{a+8} + \frac{1}{\sqrt{a+8}}(x-a) = \frac{x}{\sqrt{a+8}} + 2\sqrt{a+8} - \frac{a}{\sqrt{a+8}}$.
Упростим свободный член: $b_2 = \frac{2(a+8) - a}{\sqrt{a+8}} = \frac{a+16}{\sqrt{a+8}}$.
Уравнение касательной: $y_2 = \frac{1}{\sqrt{a+8}}x + \frac{a+16}{\sqrt{a+8}}$.
Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{\sqrt{a+8}}$.

3. Касательные не имеют общих точек, если $k_1=k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
Приравняем угловые коэффициенты: $\frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a+8}}$.
Так как $a>0$, обе стороны уравнения положительны, можно возвести их в квадрат:
$\frac{1}{4a} = \frac{1}{a+8}$
$a+8 = 4a$
$3a=8 \Rightarrow a=\frac{8}{3}$.
Это значение удовлетворяет условию $a>0$.

4. Проверим, что при $a=\frac{8}{3}$ свободные члены не равны.
$b_1 = \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{\sqrt{8/3}}{2} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$b_2 = \frac{a+16}{\sqrt{a+8}} = \frac{8/3+16}{\sqrt{8/3+8}} = \frac{56/3}{\sqrt{32/3}} = \frac{56/3}{4\sqrt{2}/\sqrt{3}} = \frac{56\sqrt{3}}{12\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{6}}{6} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$.
Сравнивая $b_1$ и $b_2$, видим, что $\frac{\sqrt{6}}{3} \neq \frac{7\sqrt{6}}{3}$. Условие $b_1 \neq b_2$ выполняется.

При $a=\frac{8}{3}$ касательные параллельны и не совпадают, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: $a=\frac{8}{3}$.