Номер 29.1, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.1, страница 105.

29.1 Определите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, в точках с абсциссами $a, b, c$:

а) рис. 41;

б) рис. 42.

Угловой коэффициент ($k$) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента определяется по поведению функции:
• Если функция возрастает (график идёт вверх при движении слева направо), касательная образует острый угол с положительным направлением оси $x$, и её угловой коэффициент положителен ($k > 0$).
• Если функция убывает (график идёт вниз), касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, и её угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$).
• В точках экстремума (локальных минимумов и максимумов) касательная горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю ($k = 0$).

а) рис. 41

Проанализируем график функции на рисунке 41:
- В точке с абсциссой a находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент $k_a$ равен нулю.
- В точке с абсциссой b функция убывает, так как её график на этом участке направлен вниз. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_b$ в этой точке отрицателен.
- В точке с абсциссой c функция возрастает, так как её график на этом участке направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_c$ в этой точке положителен.

Ответ: в точке a угловой коэффициент равен нулю ($k_a = 0$); в точке b — отрицательный ($k_b < 0$); в точке c — положительный ($k_c > 0$).

б) рис. 42

Проанализируем график функции на рисунке 42:
- В точке с абсциссой a находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому её угловой коэффициент $k_a$ равен нулю.
- В точке с абсциссой b функция возрастает, так как её график на этом участке направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_b$ в этой точке положителен.
- В точке с абсциссой c находится локальный минимум функции. Касательная в этой точке также горизонтальна, поэтому её угловой коэффициент $k_c$ равен нулю.

Ответ: в точке a угловой коэффициент равен нулю ($k_a = 0$); в точке b — положительный ($k_b > 0$); в точке c — равен нулю ($k_c = 0$).