Номер 28.50, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.50, страница 105.

28.50 а) $f'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$;

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$.

a)

Задача состоит в нахождении первообразной функции $f(x)$, если известна ее производная $f'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$. Для этого необходимо найти неопределенный интеграл от $f'(x)$, так как первообразная — это функция, производная которой равна данной функции.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \left(-\frac{2}{(2x+3)^2}\right) dx = -2 \int \frac{dx}{(2x+3)^2}$.

Для вычисления интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 2x+3$. Тогда найдем дифференциал $dt = (2x+3)' dx = 2 dx$, откуда следует, что $dx = \frac{dt}{2}$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$-2 \int \frac{dx}{(2x+3)^2} = -2 \int \frac{dt/2}{t^2} = -2 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2} = -\int t^{-2} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=-2$.

$-\int t^{-2} dt = - \left(\frac{t^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = - \left(\frac{t^{-1}}{-1}\right) + C = t^{-1} + C = \frac{1}{t} + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ исходное выражение $2x+3$:

$f(x) = \frac{1}{2x+3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки можно продифференцировать полученный результат:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2x+3} + C\right)' = ((2x+3)^{-1})' = -1 \cdot (2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = - (2x+3)^{-2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x+3)^2}$.

Полученная производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2x+3} + C$.

б)

Задача состоит в нахождении первообразной функции $f(x)$ по ее производной $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$. Для этого найдем неопределенный интеграл от $f'(x)$.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} dx = \frac{5}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-7}}$.

Для вычисления интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 5x-7$. Тогда дифференциал $dt = (5x-7)' dx = 5 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{5}$.

Подставим новую переменную и ее дифференциал в интеграл:

$\frac{5}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{5x-7}} = \frac{5}{2} \int \frac{dt/5}{\sqrt{t}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=-1/2$.

$\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = t^{1/2} + C = \sqrt{t} + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ исходное выражение $5x-7$:

$f(x) = \sqrt{5x-7} + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки можно продифференцировать полученный результат:

$f'(x) = (\sqrt{5x-7} + C)' = ((5x-7)^{1/2})' = \frac{1}{2} (5x-7)^{-1/2} \cdot (5x-7)' = \frac{1}{2} (5x-7)^{-1/2} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$.

Полученная производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sqrt{5x-7} + C$.