Номер 28.44, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.44, страница 104.

28.44 Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) = g'(x)$, если:

а) $f(x) = \sin(2x - 3)$, $g(x) = \cos(2x - 3)$;

б) $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$, $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$;

в) $f(x) = \sqrt{3x - 10}$, $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$;

г) $f(x) = \text{ctg} x$, $g(x) = 2x + 15$.

а) Даны функции $f(x) = \sin(2x - 3)$ и $g(x) = \cos(2x - 3)$.

Чтобы найти значения аргумента, удовлетворяющие условию $f'(x) = g'(x)$, сначала найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(2x - 3))' = \cos(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = 2\cos(2x - 3)$.

Аналогично, производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -2\sin(2x - 3)$.

Теперь приравняем производные:

$2\cos(2x - 3) = -2\sin(2x - 3)$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(2x - 3) = -\sin(2x - 3)$.

Если $\cos(2x - 3) \neq 0$, разделим обе части на $\cos(2x - 3)$:

$1 = -\frac{\sin(2x - 3)}{\cos(2x - 3)}$.

$1 = -\tan(2x - 3)$, что равносильно $\tan(2x - 3) = -1$.

(Заметим, что если $\cos(2x - 3) = 0$, то $\sin(2x - 3) = \pm 1$, и исходное уравнение $\cos(2x - 3) = -\sin(2x - 3)$ примет вид $0 = \mp 1$, что неверно. Значит, деление на $\cos(2x-3)$ было правомерно).

Решаем уравнение $\tan(2x - 3) = -1$:

$2x - 3 = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x - 3 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Выразим $x$:

$2x = 3 - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = \frac{6}{5x - 9}$ и $g(x) = \frac{3}{7 - 5x}$.

Найдем производные данных функций. Удобно использовать правило $(\frac{k}{u})' = -\frac{k \cdot u'}{u^2}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{6}{5x - 9}\right)' = -\frac{6 \cdot (5x - 9)'}{(5x - 9)^2} = -\frac{6 \cdot 5}{(5x - 9)^2} = -\frac{30}{(5x - 9)^2}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = \left(\frac{3}{7 - 5x}\right)' = -\frac{3 \cdot (7 - 5x)'}{(7 - 5x)^2} = -\frac{3 \cdot (-5)}{(7 - 5x)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Приравняем производные $f'(x) = g'(x)$:

$-\frac{30}{(5x - 9)^2} = \frac{15}{(7 - 5x)^2}$.

Область допустимых значений для этого уравнения определяется условиями $5x - 9 \neq 0$ и $7 - 5x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{9}{5}$ и $x \neq \frac{7}{5}$.

В этой области знаменатели $(5x - 9)^2$ и $(7 - 5x)^2$ всегда строго положительны.

Следовательно, левая часть уравнения $-\frac{30}{(5x - 9)^2}$ всегда отрицательна, а правая часть $\frac{15}{(7 - 5x)^2}$ всегда положительна.

Отрицательное число не может равняться положительному, поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: таких значений аргумента не существует.

в) Даны функции $f(x) = \sqrt{3x - 10}$ и $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$.

Найдем производные. Используем правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{3x - 10})' = \frac{(3x - 10)'}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{2\sqrt{3x - 10}}$.

Производная определена при $3x - 10 > 0$, то есть $x > \frac{10}{3}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sqrt{14 + 6x})' = \frac{(14 + 6x)'}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$.

Производная определена при $14 + 6x > 0$, то есть $x > -\frac{7}{3}$.

Приравняем производные $f'(x) = g'(x)$:

$\frac{3}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$.

Область определения уравнения — это пересечение областей определения производных: $x > \frac{10}{3}$.

Разделим обе части на 3:

$\frac{1}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{1}{\sqrt{14 + 6x}}$.

Отсюда следует, что $2\sqrt{3x - 10} = \sqrt{14 + 6x}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{3x - 10})^2 = (\sqrt{14 + 6x})^2$.

$4(3x - 10) = 14 + 6x$.

$12x - 40 = 14 + 6x$.

$12x - 6x = 14 + 40$.

$6x = 54$.

$x = 9$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=9$ области определения $x > \frac{10}{3}$. Поскольку $9 > \frac{10}{3}$ ($9 > 3.33...$), решение является верным.

Ответ: $x=9$.

г) Даны функции $f(x) = \text{ctg}\,x$ и $g(x) = 2x + 15$.

Найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Производная определена при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (2x + 15)' = 2$.

Приравняем производные $f'(x) = g'(x)$:

$-\frac{1}{\sin^2 x} = 2$.

Выразим $\sin^2 x$:

$\sin^2 x = -\frac{1}{2}$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, а $\sin x$ является действительным числом. Следовательно, $\sin^2 x \ge 0$.

Уравнение $\sin^2 x = -\frac{1}{2}$ не имеет действительных решений.

Ответ: таких значений аргумента не существует.