Номер 28.39, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.39, страница 103.

28.39 a) $g(x) = \cos^2 x - \sin^2 x;$

б) $g(x) = \sin^2 x.$

а)

Для нахождения первообразной функции $g(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ необходимо найти ее интеграл. Сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла:

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Таким образом, исходная функция $g(x)$ эквивалентна функции:

$g(x) = \cos(2x)$

Теперь найдем первообразную $G(x)$ для этой функции. Первообразная для функции $\cos(kx)$ находится по формуле $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

В нашем случае коэффициент $k = 2$, поэтому первообразная будет равна:

$G(x) = \int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $G(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

б)

Чтобы найти первообразную для функции $g(x) = \sin^2 x$, необходимо преобразовать это выражение, используя формулу понижения степени. Эта формула выводится из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Теперь мы можем найти первообразную $G(x)$ для преобразованной функции:

$G(x) = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)\right) \,dx$

Интегрируем по частям, используя правило интегрирования суммы/разности функций:

$G(x) = \int \frac{1}{2} \,dx - \int \frac{1}{2}\cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\int \,dx - \frac{1}{2}\int \cos(2x) \,dx$

Находим каждый интеграл по отдельности:

$\int \,dx = x$

$\int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$

Подставляем найденные интегралы обратно в выражение для $G(x)$ и добавляем произвольную постоянную $C$:

$G(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Ответ: $G(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.