Номер 28.40, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.40, страница 103.

28.40 Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1;$

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x;$

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19;$

г) $h(x) = \text{tg} x - 4x.$

Касательная к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с положительным направлением оси $x$ острый угол, если тангенс этого угла положителен. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания, $k = \text{tg } \alpha = h'(x_0)$. Таким образом, для нахождения абсцисс точек, в которых касательная образует острый угол с положительным направлением оси $x$, необходимо решить неравенство $h'(x) > 0$.

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$.

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 6x > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$3x(x - 2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $3x(x - 2) = 0$ — это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = 3x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

$x < 0$ или $x > 2$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x$

1. Область определения функции задается условием $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (4x^{1/2} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена при $x > 0$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$ в области $x > 0$:

$\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 > 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1$

Так как $\sqrt{x} > 0$ для $x > 0$, умножим обе части на $\sqrt{x}$:

$2 > \sqrt{x}$

Поскольку обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$4 > x$

Совмещая с условием $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 4$.

Ответ: $(0; 4)$.

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - x^4 - 19)' = 3x^2 - 4x^3$.

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 4x^3 > 0$

$x^2(3 - 4x) > 0$

Выражение $x^2$ положительно для всех $x \ne 0$ и равно нулю при $x=0$. Так как неравенство строгое, случай $x=0$ не является решением. Для $x \ne 0$ можно разделить обе части на $x^2$, не меняя знака неравенства:

$3 - 4x > 0$

$3 > 4x$

$x < \frac{3}{4}$

Учитывая условие $x \ne 0$, получаем решение.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; \frac{3}{4})$.

г) $h(x) = \text{tg } x - 4x$

1. Область определения функции: все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (\text{tg } x - 4x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 4$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} - 4 > 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как в области определения $\cos^2 x > 0$, можно перевернуть дробь, изменив знак неравенства:

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$|\cos x| < \frac{1}{2}$

Это эквивалентно двойному неравенству $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства являются интервалы $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо учесть область определения функции, исключив точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Для любого целого $k$ точка $\frac{\pi}{2} + \pi k$ находится внутри интервала $(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$. Поэтому каждый такой интервал нужно разбить на два, исключив эту точку.

Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.