Номер 28.33, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.33, страница 102.

28.33 а) $y = \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{4};$

Б) $y = \operatorname{tg} 6x, x_0 = \frac{\pi}{24};$

В) $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{3};$

Г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

а) Дана функция $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в точке $x_0$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, $g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $f(u) = \sin(u)$.

Производная $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{4})' = 3$.

Производная $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Следовательно, производная $y'$ равна:

$y' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{3\pi - \pi}{4}) = 3\cos(\frac{2\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Дана функция $y = \tg(6x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{24}$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$, используя цепное правило.

Пусть $g(x) = 6x$ и $f(u) = \tg(u)$.

Производная $g'(x) = (6x)' = 6$.

Производная $f'(u) = (\tg(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = \frac{1}{\cos^2(6x)} \cdot 6 = \frac{6}{\cos^2(6x)}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{24}$:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{\cos^2(6 \cdot \frac{\pi}{24})} = \frac{6}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем это значение:

$y'(\frac{\pi}{24}) = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: $12$.

в) Дана функция $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$ по цепному правилу.

Пусть $g(x) = \frac{\pi}{3} - 2x$ и $f(u) = \cos(u)$.

Производная $g'(x) = (\frac{\pi}{3} - 2x)' = -2$.

Производная $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.

Следовательно, производная $y'$ равна:

$y' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) = 2\sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г) Дана функция $y = \ctg(\frac{x}{3})$ и точка $x_0 = \pi$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$ по цепному правилу.

Пусть $g(x) = \frac{x}{3}$ и $f(u) = \ctg(u)$.

Производная $g'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Производная $f'(u) = (\ctg(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Тогда производная $y'$ равна:

$y' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{\pi}{3})}$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставляем это значение:

$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$.