Номер 28.26, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.26, страница 101.

28.26 Для заданной функции f(x) найдите значение её производной в указанной точке:

a) $f(x) = x^2 \sin x, f'(\frac{\pi}{2}) = ?$

б) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \sin \frac{\pi}{6}, f'(\frac{\pi}{6}) = ?$

в) $f(x) = x(1 + \cos x), f'(\pi) = ?$

г) $f(x) = \sqrt{3} \cos x - x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}, f'(\frac{\pi}{3}) = ?$

а) Дана функция $f(x) = x^2 \sin x$.

Для нахождения её производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \cos x$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi + 0 = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \sin \frac{\pi}{6}$.

Найдем производную $f'(x)$ как сумму производных её слагаемых. Обратим внимание, что $\sin \frac{\pi}{6}$ — это константа, равная $\frac{1}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{3} \sin x)' + (\frac{x^2}{\pi})' + (x \sin \frac{\pi}{6})' = \sqrt{3} \cos x + \frac{2x}{\pi} + \sin \frac{\pi}{6}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi} + \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{6\pi} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.

Складываем дроби:

$f'(\frac{\pi}{6}) = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = \frac{4}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

в) Дана функция $f(x) = x(1 + \cos x)$.

Сначала раскроем скобки для удобства дифференцирования: $f(x) = x + x \cos x$.

Найдем производную $f'(x)$ как сумму производных. Для второго слагаемого используем правило произведения.

$f'(x) = (x)' + (x \cos x)' = 1 + ((x)' \cos x + x (\cos x)') = 1 + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = 1 + \cos x - x \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = 1 + \cos(\pi) - \pi \sin(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\pi) = 1 + (-1) - \pi \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \cos x - x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$.

Найдем производную $f'(x)$, дифференцируя каждое слагаемое. Обратим внимание, что $\cos \frac{\pi}{6}$ — это константа, равная $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$f'(x) = (\sqrt{3} \cos x)' - (x \cos \frac{\pi}{6})' + (\frac{x^2}{\pi})' = \sqrt{3}(-\sin x) - \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2x}{\pi} = -\sqrt{3} \sin x - \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2x}{\pi}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3\pi} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3}$.

Сгруппируем и сложим рациональные слагаемые:

$f'(\frac{\pi}{3}) = (-\frac{3}{2} + \frac{2}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{9}{6} + \frac{4}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.