Номер 28.25, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.25, страница 101.

28.25 Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

a) $h(x) = x^6 - 4x$, $x_0 = 1$;

б) $h(x) = \sqrt{x} - 3$, $x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $h(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$, $x_0 = -1$;

г) $h(x) = \frac{25}{x} + 2$, $x_0 = \frac{5}{4}$.

Тангенс угла между касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $x$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а)

Дана функция $h(x) = x^6 - 4x$. Найдем ее производную:

$h'(x) = (x^6 - 4x)' = 6x^5 - 4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$h'(1) = 6 \cdot 1^5 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: 2.

б)

Дана функция $h(x) = \sqrt{x} - 3$. Найдем ее производную, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$h'(x) = (\sqrt{x} - 3)' = (x^{1/2})' - (3)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$h'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1.

в)

Дана функция $h(x) = -x^5 - 2x^2 + 2$. Найдем ее производную:

$h'(x) = (-x^5 - 2x^2 + 2)' = -5x^4 - 4x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$h'(-1) = -5(-1)^4 - 4(-1) = -5(1) + 4 = -5 + 4 = -1$.

Ответ: -1.

г)

Дана функция $h(x) = \frac{25}{x} + 2$. Найдем ее производную, представив $\frac{25}{x}$ как $25x^{-1}$:

$h'(x) = (\frac{25}{x} + 2)' = (25x^{-1} + 2)' = -25x^{-2} = -\frac{25}{x^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5}{4}$:

$h'(\frac{5}{4}) = -\frac{25}{(\frac{5}{4})^2} = -\frac{25}{\frac{25}{16}} = -25 \cdot \frac{16}{25} = -16$.

Ответ: -16.