Номер 28.19, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §28. Вычисление производных - номер 28.19, страница 100.

Условие.

28.19 а) $y = 3\sin x + \operatorname{ctg} x$;

б) $y = \operatorname{tg} x - \cos x$;

В) $y = \cos x + \operatorname{tg} x$;

Г) $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы найти производную функции $y = 3\sin x + \operatorname{ctg} x$, мы будем использовать правило дифференцирования суммы и табличные производные.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

$y' = (3\sin x + \operatorname{ctg} x)' = (3\sin x)' + (\operatorname{ctg} x)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная от $3\sin x$ находится с использованием правила вынесения константы за знак производной и табличной производной синуса:

$(3\sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3\cos x$

Производная от $\operatorname{ctg} x$ является табличной:

$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Теперь сложим полученные производные:

$y' = 3\cos x + (-\frac{1}{\sin^2 x}) = 3\cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = 3\cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg} x - \cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и табличными производными.

Производная разности функций равна разности их производных:

$y' = (\operatorname{tg} x - \cos x)' = (\operatorname{tg} x)' - (\cos x)'$

Найдем производную каждого члена функции.

Производная тангенса является табличной:

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Производная косинуса также является табличной:

$(\cos x)' = -\sin x$

Теперь вычтем вторую производную из первой:

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - (-\sin x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} + \sin x$.

в) Найдем производную функции $y = \cos x + \operatorname{tg} x$. Применим правило дифференцирования суммы.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$y' = (\cos x + \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' + (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличные значения производных.

Производная от $\cos x$:

$(\cos x)' = -\sin x$

Производная от $\operatorname{tg} x$:

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Складываем полученные результаты:

$y' = -\sin x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \sin x$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \sin x$.

г) Для нахождения производной функции $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x$ используем правило дифференцирования разности, правило вынесения константы и табличные производные.

Производная разности равна разности производных:

$y' = (6\operatorname{tg} x - \sin x)' = (6\operatorname{tg} x)' - (\sin x)'$

Найдем производную первого слагаемого, вынеся константу за знак производной:

$(6\operatorname{tg} x)' = 6 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{6}{\cos^2 x}$

Найдем производную второго слагаемого:

$(\sin x)' = \cos x$

Теперь найдем разность производных:

$y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$

Ответ: $y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.