Номер 28.18, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.18, страница 100.

28.18 a) $y = \frac{x^3}{2x + 4};$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1};$

В) $y = \frac{x^2}{3 - 4x};$

Г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}.$

а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Для дробно-рациональной функции это точки, в которых знаменатель равен нулю, а числитель отличен от нуля.

Приравняем знаменатель к нулю: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

В точке $x = -2$ числитель равен $(-2)^3 = -8$, что не равно нулю. Следовательно, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой. Убедимся в этом, вычислив односторонние пределы:

$\lim_{x \to -2-0} \frac{x^3}{2x + 4} = \frac{(-2)^3}{2(-2-0) + 4} = \frac{-8}{-0} = +\infty$

$\lim_{x \to -2+0} \frac{x^3}{2x + 4} = \frac{(-2)^3}{2(-2+0) + 4} = \frac{-8}{+0} = -\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, $x = -2$ — это вертикальная асимптота.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Поведение функции на бесконечности определяется соотношением степеней многочленов в числителе ($n=3$) и знаменателе ($m=1$).

Поскольку степень числителя больше степени знаменателя более чем на единицу ($n > m+1$, т.е. $3 > 1+1$), у функции нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот. График функции растет быстрее любой прямой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -2$.

б) $y = \frac{x^2}{x^2 - 1}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

В этих точках числитель не равен нулю ($1^2=1$, $(-1)^2=1$). Следовательно, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=2$ равна степени знаменателя $m=2$. Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота вида $y=k$. Коэффициент $k$ равен пределу функции при $x \to \infty$, что эквивалентно отношению старших коэффициентов многочленов:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота. Наличие горизонтальной асимптоты исключает наличие наклонной.

Ответ: вертикальные асимптоты $x = 1$ и $x = -1$; горизонтальная асимптота $y = 1$.

в) $y = \frac{x^2}{3 - 4x}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$.

В этой точке числитель не равен нулю ($(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} \neq 0$). Следовательно, прямая $x = \frac{3}{4}$ является вертикальной асимптотой.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=2$ на единицу больше степени знаменателя $m=1$ ($n = m+1$). Это означает, что у функции есть наклонная асимптота вида $y = kx+b$. Горизонтальной асимптоты нет. Найдем коэффициенты $k$ и $b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(3 - 4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{3x - 4x^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^2$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{x} - 4} = \frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{3 - 4x} - \left(-\frac{1}{4}x\right)\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{3 - 4x} + \frac{x}{4}\right)$

Приводим к общему знаменателю:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + x(3 - 4x)}{4(3 - 4x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x - 4x^2}{12 - 16x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{12 - 16x}$

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{12}{x} - 16} = \frac{3}{0 - 16} = -\frac{3}{16}$.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{16}$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = \frac{3}{4}$; наклонная асимптота $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{16}$.

г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

1. Поиск вертикальных асимптот. Находим нули знаменателя:

$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, у функции нет точек разрыва и нет вертикальных асимптот.

2. Поиск горизонтальных и наклонных асимптот. Степень числителя $n=1$ меньше степени знаменателя $m=2$ ($n < m$). Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота. Найдем ее уравнение, вычислив предел:

$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1+0} = 0$.

Таким образом, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты исключает наличие наклонной.

Ответ: горизонтальная асимптота $y = 0$.