Номер 28.14, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.14, страница 99.

28.14 а) $x = x^9$;

б) $y = x^{10}$;

В) $x = x^{39}$;

Г) $y = x^{201}$.

а)

Решим уравнение $x = x^9$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^9 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^8 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x = 0$. Это первый корень уравнения.

2. $x^8 - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^8 = 1$

Поскольку показатель степени 8 является четным числом, это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.

б)

В данном пункте представлена функция $y = x^{10}$. Наиболее вероятная задача — найти точки пересечения графика этой функции с прямой $y = x$. Это эквивалентно решению уравнения $x = x^{10}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{10} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^9 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$. Это первый корень.

2. $x^9 - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^9 = 1$

Поскольку показатель степени 9 является нечетным числом, это уравнение имеет только один действительный корень: $x = 1$.

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

в)

Решим уравнение $x = x^{39}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{39} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^{38} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$.

2. $x^{38} - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^{38} = 1$

Поскольку показатель степени 38 является четным, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

В итоге получаем три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.

г)

Аналогично пункту б), будем считать, что задача состоит в нахождении точек пересечения графика функции $y = x^{201}$ с прямой $y = x$. Для этого решим уравнение $x = x^{201}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^{201} - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^{200} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x = 0$.

2. $x^{200} - 1 = 0$. Решим это уравнение:

$x^{200} = 1$

Поскольку показатель степени 200 является четным, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.