Номер 28.20, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.20, страница 100.

28.20 a) $y = x \operatorname{tg} x;$

б) $y = \sin x \operatorname{tg} x;$

В) $y = x \operatorname{ctg} x;$

Г) $y = \cos x \operatorname{ctg} x.$

а) Дана функция $y = x \operatorname{tg} x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Теперь подставим найденные производные в формулу произведения: $y' = (x \operatorname{tg} x)' = u'v + uv' = (x)' \operatorname{tg} x + x (\operatorname{tg} x)' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.

б) Дана функция $y = \sin x \operatorname{tg} x$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставляем в формулу и находим производную исходной функции: $y' = (\sin x \operatorname{tg} x)' = (\sin x)' \operatorname{tg} x + \sin x (\operatorname{tg} x)' = \cos x \cdot \operatorname{tg} x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Упростим полученное выражение, используя тригонометрическое тождество $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $y' = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

в) Дана функция $y = x \operatorname{ctg} x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём производные: $u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем производные в формулу: $y' = (x \operatorname{ctg} x)' = (x)' \operatorname{ctg} x + x (\operatorname{ctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

г) Дана функция $y = \cos x \operatorname{ctg} x$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём производные этих функций: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем в формулу и находим производную: $y' = (\cos x \operatorname{ctg} x)' = (\cos x)' \operatorname{ctg} x + \cos x (\operatorname{ctg} x)' = -\sin x \cdot \operatorname{ctg} x + \cos x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$.
Упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$: $y' = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.