Номер 28.21, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.21, страница 100.

28.21 a) $y = x^2 + 2x - 1, x_0 = 0;$

б) $y = x^3 - 3x + 2, x_0 = -1;$

в) $y = x^2 + 3x - 4, x_0 = 1;$

Г) $y = x^3 - 9x^2 + 7, x_0 = 2.$

а) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, воспользуемся формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 + 2x - 1$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 2x - 1)' = 2x + 2$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -1 + 2(x - 0)$
$y = 2x - 1$.
Ответ: $y = 2x - 1$.

б) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x + 2$ и точка $x_0 = -1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + 0(x - (-1))$
$y = 4$.
Ответ: $y = 4$.

в) Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 4$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 3x - 4)' = 2x + 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + 5(x - 1)$
$y = 5x - 5$.
Ответ: $y = 5x - 5$.

г) Дана функция $f(x) = x^3 - 9x^2 + 7$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 7 = 8 - 9 \cdot 4 + 7 = 8 - 36 + 7 = -21$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 9x^2 + 7)' = 3x^2 - 18x$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 36 = 12 - 36 = -24$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -21 + (-24)(x - 2)$
$y = -21 - 24x + 48$
$y = -24x + 27$.
Ответ: $y = -24x + 27$.