Номер 28.28, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.28, страница 101.

Найдите производную функции:

28.28 a) $y = (4x - 9)^7;$ в) $y = (5x + 1)^9;$

б) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12};$ г) $y = \left(\frac{x}{4} - 3\right)^{14}.$

а) $y = (4x - 9)^7$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) в сочетании с формулой производной степенной функции: $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

В нашем случае, внутренняя функция $u(x) = 4x - 9$, а показатель степени $n = 7$.

Сначала найдем производную внутренней функции:

$u'(x) = (4x - 9)' = 4$.

Теперь подставляем все компоненты в формулу производной сложной функции:

$y' = 7 \cdot (4x - 9)^{7-1} \cdot (4x - 9)'$

$y' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4$

$y' = 28(4x - 9)^6$

Ответ: $y' = 28(4x - 9)^6$

б) $y = (\frac{x}{3} + 2)^{12}$

Применяем то же правило дифференцирования сложной функции. Здесь внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{3} + 2$, а показатель степени $n=12$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (\frac{x}{3} + 2)' = (\frac{1}{3}x + 2)' = \frac{1}{3}$.

Подставляем в формулу производной сложной функции:

$y' = 12 \cdot (\frac{x}{3} + 2)^{12-1} \cdot (\frac{x}{3} + 2)'$

$y' = 12(\frac{x}{3} + 2)^{11} \cdot \frac{1}{3}$

$y' = \frac{12}{3}(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

$y' = 4(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

Ответ: $y' = 4(\frac{x}{3} + 2)^{11}$

в) $y = (5x + 1)^9$

Снова используем правило производной сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = 5x + 1$, показатель степени $n=9$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (5x + 1)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = 9 \cdot (5x + 1)^{9-1} \cdot (5x + 1)'$

$y' = 9(5x + 1)^8 \cdot 5$

$y' = 45(5x + 1)^8$

Ответ: $y' = 45(5x + 1)^8$

г) $y = (\frac{x}{4} - 3)^{14}$

Используем правило производной сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{4} - 3$, показатель степени $n=14$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (\frac{x}{4} - 3)' = (\frac{1}{4}x - 3)' = \frac{1}{4}$.

Подставляем в формулу:

$y' = 14 \cdot (\frac{x}{4} - 3)^{14-1} \cdot (\frac{x}{4} - 3)'$

$y' = 14(\frac{x}{4} - 3)^{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y' = \frac{14}{4}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$

$y' = \frac{7}{2}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$

Ответ: $y' = \frac{7}{2}(\frac{x}{4} - 3)^{13}$