Номер 28.31, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.31, страница 102.

28.31 Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

a) $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3;$

б) $y = \sin \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right), x_0 = \frac{\pi}{12};$

в) $y = \operatorname{tg} \left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{12};$

г) $y = \sqrt{25 - 9x}, x_0 = 1;$

а) Дана функция $y = (3x - 2)^7$ и точка $x_0 = 3$. Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем саму производную. Это сложная функция, поэтому применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$y' = ((3x - 2)^7)' = 7(3x - 2)^{7-1} \cdot (3x-2)' = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6$.
Теперь вычислим значение этой производной в точке $x_0=3$:
$y'(3) = 21(3 \cdot 3 - 2)^6 = 21(9-2)^6 = 21 \cdot 7^6$.
Зная, что $7^6 = 117649$, получаем:
$y'(3) = 21 \cdot 117649 = 2470629$.
Ответ: $2470629$.

б) Дана функция $y = \sin(\frac{\pi}{6} - 2x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Находим производную, используя цепное правило:
$y' = (\sin(\frac{\pi}{6} - 2x))' = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) \cdot (\frac{\pi}{6} - 2x)' = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) \cdot (-2) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:
$y'(\frac{\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{12}) = -2\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -2\cos(0)$.
Так как $\cos(0) = 1$, то:
$y'(\frac{\pi}{12}) = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.

в) Дана функция $y = \tan(3x - \frac{\pi}{4})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Производная тангенса $(\tan(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$. Используя цепное правило, находим производную функции:
$y' = (\tan(3x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:
$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{\cos^2(3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(0)}$.
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{1^2} = 3$.
Ответ: $3$.

г) Дана функция $y = \sqrt{25 - 9x}$ и точка $x_0 = 1$. Представим корень как степень $1/2$: $y = (25 - 9x)^{1/2}$. Находим производную по цепному правилу:
$y' = ((25 - 9x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(25 - 9x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (25 - 9x)' = \frac{1}{2\sqrt{25-9x}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$.
Ответ: $-\frac{9}{8}$.