Номер 28.35, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.35, страница 103.

28.35 Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $k$, если:

a) $f(x) = \sqrt{x} - x$, $k = 1$;

б) $f(x) = \sin x \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, $k = 4$;

г) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в некоторой точке равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке. Таким образом, чтобы найти абсциссы $x$ искомых точек, необходимо решить уравнение $f'(x) = k$ для каждого случая.

а) $f(x) = \sqrt{x} - x$, $k = 1$

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} - x)' = (\sqrt{x})' - (x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Область определения производной: $x > 0$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=1$ и решим уравнение:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2$

$1 = 4\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ входит в область определения производной.

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

б) $f(x) = \sin x \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

3. Приравняем производную к заданному значению $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и решим уравнение:

$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, $k = 4$

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} + 3x)' = (\sqrt{x})' + (3x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$.

Область определения производной: $x > 0$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=4$ и решим уравнение:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$1 = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Значение $x = \frac{1}{4}$ входит в область определения производной.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

г) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \frac{1}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

$f'(x) = -\sin(2x)$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=\frac{1}{2}$ и решим уравнение:

$-\sin(2x) = \frac{1}{2}$

$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.