Номер 28.41, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.41, страница 103.

28.41 Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $\phi(x) = \sin x + 3;$

б) $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x.$

Касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$ в тех точках, в которых угловой коэффициент касательной $k$ отрицателен. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = \phi'(x_0)$. Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений $x$, для которых выполняется неравенство $\phi'(x) < 0$.

а) Дана функция $\phi(x) = \sin x + 3$.

1. Найдем производную функции:
$\phi'(x) = (\sin x + 3)' = \cos x$.

2. Решим неравенство $\phi'(x) < 0$:
$\cos x < 0$.

Неравенство выполняется, когда угол $x$ находится во второй или третьей координатной четверти. Общее решение неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$.

1. Преобразуем коэффициенты для удобства вычислений: $0,2 = \frac{1}{5}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Функция принимает вид:
$\phi(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$.

2. Найдем производную функции:
$\phi'(x) = \left(\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$.

3. Решим неравенство $\phi'(x) < 0$:
$x^4 - 10x^2 + 9 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Выполним замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 10t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$. Неравенство можно записать в виде $(t-1)(t-9) < 0$. Решением этого неравенства является интервал $1 < t < 9$.

4. Вернемся к переменной $x$:
$1 < x^2 < 9$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 9 \end{cases}$.

Решение первого неравенства $x^2 > 1$ (или $x^2 - 1 > 0$) есть $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Решение второго неравенства $x^2 < 9$ (или $x^2 - 9 < 0$) есть $x \in (-3; 3)$.

Искомые значения $x$ являются пересечением этих двух множеств:
$x \in ((- \infty; -1) \cup (1; \infty)) \cap (-3; 3) = (-3; -1) \cup (1; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.