Номер 28.46, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.46, страница 104.

28.46 a) Найдите корни уравнения $f(x) = 0$, принадлежащие отрезку $[0; 2]$, если известно, что $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

б) Найдите корни уравнения $f'(x) = 0$, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, если известно, что $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$.

а) Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$ на отрезке $[0; 2]$. Уравнение имеет вид:$ \cos^2 x + 1 + \sin x = 0 $Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к переменной $\sin x$:$ (1 - \sin^2 x) + 1 + \sin x = 0 $$ -\sin^2 x + \sin x + 2 = 0 $Умножим обе части на $-1$:$ \sin^2 x - \sin x - 2 = 0 $Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса $[-1; 1]$, то $t \in [-1; 1]$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$:$ t^2 - t - 2 = 0 $Решим его, например, с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.Вернемся к замене:1. $ \sin x = 2 $. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.2. $ \sin x = -1 $. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие отрезку $[0; 2]$. Для этого решим двойное неравенство:$ 0 \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2 $Приближенно считая $\pi \approx 3.14$, получаем:$ 0 \le -1.57 + 6.28k \le 2 $$ 1.57 \le 6.28k \le 3.57 $$ \frac{1.57}{6.28} \le k \le \frac{3.57}{6.28} $$ 0.25 \le k \le 0.568 $В данном промежутке нет ни одного целого значения $k$. Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.

б) Нам нужно найти корни уравнения $f'(x) = 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.Сначала найдем производную функции $f(x) = \sin^2 x - \cos x - 1$.$ f'(x) = (\sin^2 x)' - (\cos x)' - (1)' $Используя правило дифференцирования сложной функции и производные тригонометрических функций, получаем:$ f'(x) = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (-\sin x) - 0 = 2\sin x \cos x + \sin x $Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:$ 2\sin x \cos x + \sin x = 0 $Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:$ \sin x (2\cos x + 1) = 0 $Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.1. $ \sin x = 0 $Общее решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:При $k=1$, $x=\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} \le \pi \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень подходит.Другие целые значения $k$ дают корни вне указанного отрезка.2. $ 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} $Общие решения: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:При $n=0, x = \frac{2\pi}{3}$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$, этот корень подходит.Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:При $n=1, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень подходит.Другие целые значения $n$ дают корни вне указанного отрезка.Объединяем все найденные корни: $\pi, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.