Номер 28.49, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.49, страница 104.

Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

28.49 a) $f'(x) = 6(2x - 1)^2$;

б) $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

Чтобы найти функцию $y=f(x)$ по её производной $f'(x)$, необходимо найти первообразную для $f'(x)$, то есть вычислить неопределённый интеграл.

а) Дана производная $f'(x) = 6(2x - 1)^2$.

Найдём функцию $f(x)$, вычислив интеграл:

$f(x) = \int 6(2x - 1)^2 dx$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 2x - 1$. Тогда производная от $u$ по $x$ равна $du = (2x-1)'dx = 2dx$. Отсюда выразим $dx = \frac{du}{2}$.

Подставим $u$ и $dx$ в интеграл:

$\int 6(u)^2 \frac{du}{2} = \int 3u^2 du$

Теперь вычислим интеграл по таблице интегралов ($\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$):

$3 \cdot \frac{u^3}{3} + C = u^3 + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = 2x - 1$:

$f(x) = (2x - 1)^3 + C$

Таким образом, функция $y=f(x)$ может быть задана формулой $y = (2x - 1)^3 + C$, где $C$ — любое действительное число.

Ответ: $y = (2x - 1)^3 + C$, где $C$ – любое число.

б) Дана производная $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

Найдём функцию $f(x)$, вычислив интеграл:

$f(x) = \int -20(4 - 5x)^3 dx$

Снова используем метод замены переменной. Пусть $u = 4 - 5x$. Тогда $du = (4 - 5x)'dx = -5dx$. Отсюда выразим $dx = \frac{du}{-5}$.

Подставим $u$ и $dx$ в интеграл:

$\int -20(u)^3 \frac{du}{-5} = \int 4u^3 du$

Вычислим полученный интеграл:

$4 \cdot \frac{u^4}{4} + C = u^4 + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Выполним обратную замену, подставив $u = 4 - 5x$:

$f(x) = (4 - 5x)^4 + C$

Следовательно, функция $y=f(x)$ может быть задана формулой $y = (4 - 5x)^4 + C$, где $C$ — любое действительное число.

Ответ: $y = (4 - 5x)^4 + C$, где $C$ – любое число.