Номер 29.2, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.2, страница 105.

29.2 Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует, если график функции изображён на заданном рисунке:

а) рис. 43;

б) рис. 44;

в) рис. 45;

г) рис. 46.

$y$, $x$, $O$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3,5$
Рис. 43

$y$, $x$, $O$, $-1,5$, $-5$, $-4$, $-3$, $4$
Рис. 44

$y$, $x$, $O$, $-6$, $-4$, $-2$, $2$
Рис. 45

$y$, $x$, $O$, $-4$, $-2$, $3$, $5$
Рис. 46

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

• Производная равна нулю в точках, где касательная к графику горизонтальна (параллельна оси абсцисс). Обычно это точки локальных максимумов и минимумов функции.
• Производная не существует в точках, где график имеет "излом" (острый угол, пик) или где касательная к графику вертикальна.

а) рис. 43

На данном графике касательная будет горизонтальна в точках экстремумов: в точке локального минимума с абсциссой $x=0$ и в точке локального максимума с абсциссой $x=2$. В этих точках производная равна нулю.
График имеет точки излома (острые пики), в которых производная не существует. Это точки с абсциссами $x=-1$ и $x=3.5$.

Ответ: Производная равна нулю в точках с абсциссами $x=0$ и $x=2$; производная не существует в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=3.5$.

б) рис. 44

Касательная к графику горизонтальна в точке локального максимума $x=-4$ и в точке локального минимума $x=-1.5$. В этих точках производная равна нулю.
График имеет излом в точке с абсциссой $x=4$. В этой точке сходятся два участка с разными наклонами, поэтому производная в ней не существует.

Ответ: Производная равна нулю в точках с абсциссами $x=-4$ и $x=-1.5$; производная не существует в точке с абсциссой $x=4$.

в) рис. 45

Горизонтальная касательная к графику наблюдается в точке локального минимума с абсциссой $x=-4$. В этой точке производная равна нулю.
В точке с абсциссой $x=-2$ гладкая кривая переходит в прямолинейный участок, образуя излом. В этой точке производная не существует.

Ответ: Производная равна нулю в точке с абсциссой $x=-4$; производная не существует в точке с абсциссой $x=-2$.

г) рис. 46

Рассмотрим S-образную кривую. Данная функция является возрастающей на всей области определения, у нее нет точек локальных экстремумов, поэтому на графике нет точек, в которых касательная была бы горизонтальна. Следовательно, точек, в которых производная равна нулю, нет.
В точках с абсциссами $x=-4$ и $x=5$ касательные к графику становятся вертикальными. Тангенс угла наклона вертикальной прямой не определён, поэтому производная в этих точках не существует.

Ответ: Точек, в которых производная равна нулю, нет; производная не существует в точках с абсциссами $x=-4$ и $x=5$.