Номер 29.5, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.5, страница 106.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.5 а) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$, $a = -1$;

б) $f(x) = \sqrt{4 - 5x}$, $a = 0$;

в) $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$, $a = 0$;

г) $f(x) = \sqrt{10 + x}$, $a = -5$.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид: $k = f'(a)$.

а)

Для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ в точке $a = -1$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3)' = 3x^2 - 4x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -1$:
$k = f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3 \cdot 1 + 4 = 7$.
Ответ: 7.

б)

Для функции $f(x) = \sqrt{4 - 5x}$ в точке $a = 0$.
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{4 - 5x})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 5x}} \cdot (4 - 5x)' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{4 - 5x}}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{4 - 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

в)

Для функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в точке $a = 0$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 7x^3 + 12x - 45)' = 4x^3 - 21x^2 + 12$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:
$k = f'(0) = 4 \cdot 0^3 - 21 \cdot 0^2 + 12 = 0 - 0 + 12 = 12$.
Ответ: 12.

г)

Для функции $f(x) = \sqrt{10 + x}$ в точке $a = -5$.
1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{10 + x})' = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot (10 + x)' = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{10 + x}}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -5$:
$k = f'(-5) = \frac{1}{2\sqrt{10 + (-5)}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$.