Номер 29.12, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §29. Уравнение касательной к графику функции - номер 29.12, страница 107.

Условие.

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.12 а) $f(x) = x^2, a = 3;$

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0;$

в) $f(x) = x^3, a = 1;$

г) $f(x) = x^3 - 3x + 5, a = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

а) $f(x) = x^2, a = 3$

1. Найдем значение функции в точке $a=3$:
$f(3) = 3^2 = 9$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $a=3$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

4. Подставим найденные значения $a=3$, $f(3)=9$ и $f'(3)=6$ в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.

Ответ: $y = 6x - 9$.

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0$

1. Найдем значение функции в точке $a=0$:
$f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=0$:
$f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1$.

4. Подставим найденные значения $a=0$, $f(0)=2$ и $f'(0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 0)$
$y = 2 - x$.

Ответ: $y = -x + 2$.

в) $f(x) = x^3, a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = 1^3 = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=1$ и $f'(1)=3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

г) $f(x) = x^3 - 3x + 5, a = -1$

1. Найдем значение функции в точке $a=-1$:
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $a=-1$:
$f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

4. Подставим найденные значения $a=-1$, $f(-1)=7$ и $f'(-1)=0$ в уравнение касательной:
$y = 7 + 0(x - (-1))$
$y = 7 + 0(x+1)$
$y = 7$.

Ответ: $y = 7$.