Номер 29.16, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.16, страница 107.

29.16 a) $f(x) = \cot 2x$, $a = \frac{\pi}{4}$;

б) $f(x) = 2\tan \frac{x}{3}$, $a = 0$.

а) Для функции $f(x) = \text{ctg}(2x)$ и точки $a = \frac{\pi}{4}$ необходимо найти значение производной $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \text{ctg}(u)$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Производная котангенса: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (\text{ctg}(2x))' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, то $\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1^2 = 1$.

Следовательно, $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{1} = -2$.

Ответ: -2

б) Для функции $f(x) = 2\text{tg}\frac{x}{3}$ и точки $a = 0$ необходимо найти значение производной $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому снова используем правило дифференцирования сложной функции.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = 2\text{tg}(u)$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{3}$.

Производная тангенса, умноженная на константу: $(2\text{tg}(u))' = 2 \cdot (\text{tg}(u))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(u)} = \frac{2}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $\left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{3}$.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = \left(2\text{tg}\frac{x}{3}\right)' = \frac{2}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{2}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = \frac{2}{3\cos^2\left(\frac{0}{3}\right)} = \frac{2}{3\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, то $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

Следовательно, $f'(0) = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$