Номер 29.18, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.18, страница 108.

29.18 Напишите уравнения касательных к параболе $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4.

Чтобы найти уравнения касательных к параболе $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Нахождение точек касания

Ордината — это координата $y$. Приравняем уравнение параболы к 4, чтобы найти абсциссы ($x$) точек касания:

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Таким образом, у нас есть две точки на параболе с ординатой 4: $M_1(4, 4)$ и $M_2(-1, 4)$. В этих точках и нужно провести касательные.

2. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — это значение производной функции в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 3x$:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$

Теперь найдем уравнения для каждой из двух касательных.

Касательная в точке $M_1(4, 4)$

Для этой точки $x_0 = 4$ и $f(x_0) = 4$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$

Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = 4 + 5(x - 4)$

$y = 4 + 5x - 20$

$y = 5x - 16$

Касательная в точке $M_2(-1, 4)$

Для этой точки $x_0 = -1$ и $f(x_0) = 4$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Подставим значения в формулу:

$y = 4 + (-5)(x - (-1))$

$y = 4 - 5(x + 1)$

$y = 4 - 5x - 5$

$y = -5x - 1$

Ответ: уравнения касательных к параболе в точках с ординатой 4: $y = 5x - 16$ и $y = -5x - 1$.